inversión a la tecnologia

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ECUACIONES
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con área 1.200 m 2 tal que la base es el doble de la
altura?
Una persona recibe un salario de 100UM más un 4% sobre las ventas mensuales. Otra persona
no recibe salario pero en cambio se le da una bonificación del 8% sobre las ventas mensuales. ¿Cuál es
el nivel de ventas para el cuál las dos personas reciben el mismo ingreso al mes?Estos tipos de problemas pueden ser resueltos planteando una ecuación. Podremos analizar
posteriormente que si x representa el nivel de ventas mensuales donde se alcanza la igualdad de
ingresos entonces la ecuación que resuelve este problema está dada por: 100 + 0.04 x = 0.08 x .
Las ecuaciones son protagonistas en las resoluciones de muchos problemas de aplicaciones
pero también son piezasclaves para conseguir ciertos resultados en cálculo. Es por consiguiente una
herramienta que el estudiante debe dominar.
Una ecuación en una variable es un enunciado de igualdad entre dos expresiones algebraicas en
la variable.
Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de ecuaciones
a) 2 x = 10
b) t 2 = −2t + 3
c) 1 − 2r + 1 = 0
5x − 1 1
d)
+ =0
x −1 x
e) x(x + 1) − (x + 1) = 0

Estosson ejemplos de ecuaciones en una variable. En los ejemplos a, d y e la variable es x.
En b la variable es t y en c la variable es r. Las expresiones que están al lado del signo de igualdad se
llaman miembros de una ecuación.
Se dice que a es una solución o raíz de una ecuación si es un valor de x que hace que la
ecuación sea una proposición verdadera.
5 es una raíz o una solución de laecuación del ejemplo a, por cierto es la única solución.
1 y -3 son raíces de la segunda ecuación.
Resolver una ecuación consiste en encontrar todos los valores de x que son solución de la
ecuación. El conjunto de todas las soluciones es llamado el conjunto solución. A veces se usa la
terminología incógnita para referirse a la variable.
Para resolver una ecuación normalmente realizamos una seriede pasos, de acuerdo a la
característica de la ecuación. Debemos estar claros si los pasos que realicemos nos conducen a una
ecuación con las mismas soluciones o no que la original. Si después de realizar operaciones en las
ecuaciones obtenemos otra con las mismas soluciones que la original diremos que ambas ecuaciones
son equivalentes.
Existen operaciones que garantizan que vamos a obtenerecuaciones equivalentes a la
original como:
1) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos lados de la ecuación.
2) Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de la ecuación.
3) Sustituir una expresión por otra equivalente.

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Hay operaciones que pueden agregar solución:
1) Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuación.
Ejemplo: Si en la ecuación 2 x= 10 cuya única solución es 5, multiplicamos por (x-1) ambos
lados de la ecuación, nos queda la ecuación
2 x( x − 1) = 10( x − 1) ,
Esta última ecuación tiene como soluciones 5 y 1. Se agregó una solución.
2) Elevar al cuadrado o a una potencia par ambos lados de una ecuación.
Ejemplo: Si en la ecuación x = 1 , cuya solución es explícita: 1, elevamos ambos miembros al
cuadrado nos queda x 2= 1 , el lector puede verificar que las soluciones de esta última son -1 y 1. De
nuevo se agregó una solución: -1 que no satisface la original. Las ecuaciones x 2 = 1 y x = 1 no son
equivalentes.
No siempre se agrega solución, Por ejemplo la ecuación x = 1 tiene como única solución 1 . Si
se eleva al cuadrado ambos miembros queda la ecuación x = 1 donde la solución es explícita y la
x = 1 yx = 1 son equivalentes.
misma que la original. Las ecuaciones
En algunos métodos de resolución hay que realizar estas operaciones. En este caso se debe
verificar siempre las soluciones encontradas para ver si fueron soluciones añadidas. En el caso de
multiplicar por un polinomio, las posibles soluciones añadidas son las raíces del polinomio. Observe
como al multiplicar en la ecuación 2 x =...