Investigacion De Metodos Numericos

MÉTODO DE BISECCIÓN

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.
Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.1 Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cualestablece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,c] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(g) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De estaforma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
A continuación se verifica que
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
En caso de que no lo sea, verificamossi f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
Algoritmo:
Para aplicar el método consideremos tres sucesiones definidaspor las siguientes relaciones:

Donde los valores iniciales vienen dados por:

Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del intervalo:


MÉTODO DE FALSA POSICIÓN

Es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales.
Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantizaque en su interior hay al menos una raíz. El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.
A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:



Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será:
[ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos;
[ck, bk] en caso contrario.


MÉTODO DEL PUNTO FIJO

Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de laforma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación en la forma .
Llamemos a la raíz de . Supongamos que existe y es conocida la función tal que:
del dominio.
Entonces:

Tenemos, pues, a como punto fijo de .
Algoritmo para iteración del punto fijo:1. Se ubica la raíz de analizando la gráfica.
2. Se obtiene un despeje de la función.
3. Obtenemos de su derivada .
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en , es decir haciendo iteración de las operaciones.


MÉTODO DE NEWTON RAPHASON
Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de losceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así,...