Io programacion no lineal

PROGRAMACIÓN NO
LINEAL
Puede reproducirse libremente. Se agradecerá citar la fuente.
Claudio L. R. Sturla
  Bibliografía:
· Winston, Wayne L., Investigación de Operaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. De C. V.,
México, 1.994, ISBN 970-625-029-8.
· Chiang, Alpha C., Métodos Fundamentales de Economía Matemática, McGraw Hill/Interamericana
de México, S. A. De C. V., 1.998, ISBN968-422-193-2.
Conceptos introductorios
DEFINICIÓN
Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL)de la siguiente manera:
Encuentre los valores de las variables x , x , , xn 1 2  que
( ) n z f x , x , , x = 1 2  máximo (o mínimo)
sujeto a: (1)
( ) { }
( ) { } 2 1 2 2
1 1 2 1
, , , ; ;
, , , ; ;
g x x x b
g x x x b
n
n
£ = ³
£ = ³


………………………….
………………………….
( ) {} n n n g x , x , , x £ ;= ;³ b 1 2 
Como en la programación lineal z es el funcional del problema de programación no lineal y
( ) { } ( ) { } 1 1 2 1 2 1 2 2 g x , x , , x ; ; b ; g x , x , , x ; ; b n n  £ = ³  £ = ³ ;… ; ( ) { } n n n g x , x , , x £ ;= ;³ b 1 2 
son las restricciones del problema de programación no lineal.
Un problema de programación no lineal es un problema deprogramación no lineal no restringido.
El conjunto de puntos ( ) n x , x , , x 1 2  , tal que i x es un número real, es Rn
R1 , entonces, es el conjunto de los números reales.
Los siguientes subconjuntos de R1 (llamados intervalos) serán de particular interés:
[ ]
[a b x a x b
a b x a x b
£ á
£ £
, ) las que satisfacen
, las que satisfacen
pnl-1.doc 238
Prof. Ing. Claudio L. R. Sturla
](a b) x a x b
a b x a x b
á á
á £
, las que satisfacen
( , las que satisfacen
[
b] x x b
a x x a
- ¥ = £
¥ = ³
( , las que satisfacen
, ) las que satisfacen
Y en forma análoga a las definiciones de la programación lineal.
DEFINICIÓN
La región factible para el problema de programación no lineal es el conjunto de puntos ( ) n x , x , , x 1 2 
que satisfacen las m restricciones de(1).
Supóngase que (1) es un problema de maximización.
DEFINICIÓN
Cualquier punto X en la región factible, para el cual se tiene que f ( X ) ³ f ( X ) para todos los puntos
X de la región factible, es una solución óptima para el problema de programación no lineal.
(Para un problema de minimización, X es la solución óptima si f (X ) £ f ( X ) para toda X factible.
Por supuesto, si n z , g , g ,, g 1 2  son funciones lineales, entonces (1) será un problema de programación
lineal y puede resolverse mediante el algoritmo simplex.
Ejemplos de Programación No Lineal
Ejemplo N° 1
A una compañía le cuesta c UM por unidad fabricar un producto. Si la compañía cobra p UM por unidad
de producto, los clientes pedirán D( p) unidades. Para maximizar las ganancias, ¿qué precio tendría
que ponerla compañía?
Solución
La variable de decisión de la empresa es p
Dado que la ganancia de la empresa es ( p - c)D( p) , la empresa querrá resolver el siguiente problema de
maximización sin restricción:
( p - c)D( p) ® máximo
Ejemplo N° 2
Si se utilizan K unidades de capital y L unidades de trabajo, una compañía puede producir KL unidades
de un bien manufacturado. Se puede conseguir elcapital a 4 UM/unidad y el trabajo a 1 UM/unidad. Se
dispone de un total de 8 UM para contratar capital y trabajo. ¿Cómo puede la compañía maximizar la
cantidad de bienes que se pueden fabricar?
Solución
Sea
K = unidades de capital contratadas y
L = unidades de trabajo compradas
entonces K y L deben satisfacer 4K + L £ 8; K ³ 0 ; L ³ 0
Por lo tanto, la compañía quiere resolver el siguienteproblema de maximización restringido:
pnl-1.doc 239
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sujeto a
z = KL ® máximo
, 0
4 8
³
+ £
K L
K L
Diferencias entre Programación No Lineal y Programación Lineal
La solución para el problema de programación lineal es un conjunto convexo.
También sabemos que la solución de programación lineal se encuentra en un punto extremo de un
conjunto convexo....