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Calculo Matematico para tener Areas de Superficie Concava, Cilindricas Y Esfericas:

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Esfera

En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.
La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar unasuperficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar).Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.
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Área
Arquímedes tambiéndemostró que el área de la esfera es también dos tercios respecto al del cilindro, entonces:

El área de la esfera es también igual a la derivada de su volumen con respecto a r.

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Cilindro

Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficiede revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución.
El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también se llamado cilindro.
En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparametrica de líneas paralelas.-------------------------------------------------
Superficie cilíndrica
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. Como superficie de revolución, la superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una rectaalrededor de un eje. La superficie del cilindro es una superficiereglada; pertenece a las denominadas superficies cuádricas.

Las superficies cilíndricas pueden ser
* superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
* superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

Desarrollo de la superficie cilíndrica

La superficie de un cuadrado redondo rectode base circular está conformada por un rectángulo de altura  y base , siendo dicha superficie:  y a su vez es igual a la altura + base / 2 * 2 - altura - base
Además dispone de dos bases circulares, de área 

Área de la superficie cilíndrica semicónica
El área de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral  más la superficie de las dos bases 
En un cilindro recto debase circular, es:

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Convexidad
La convexidad de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica; es el concepto opuesto a la concavidad.

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Conjunto convexo

Definición de convexidad.
En un espacio vectorial real, se dice queuna parte C es convexa si para cada par de puntos de él, el segmento que los reúne está totalmente incluido en C.
En otras palabras, en un conjunto convexo se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en vía recta, sin salir del mismo.
Formalmente se escribe así:

Más en detalle:

En el caso de un conjunto no convexo, se observa que cada segmento que muestra la no convexidad ([EF] en lafigura de la derecha) tiene forzosamente que atravesar por lo menos dos veces (en E´y F´) el borde  del conjunto (el borde o la frontera de un conjunto C lo constituyen los puntos del espacio en contacto a la vez con C y su complementario). Por tanto la convexidad depende esencialmente de la forma del borde del conjunto, y la definición equivale a:

Nótese que en esta fórmula, la suma de los...
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