Johana

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UCAB. Cálculo 1

Junio 2009

APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS DERIVADAS
PARTE I: TANGENTES Y NORMALES A UNA CURVA Cuando se pide encontrar la tangente o la normal a una curva y = f (x) , en un punto P(x1, y1) pueden darse dos casos: CASO 1: El punto P pertenece a la curva La tangente es una recta, y recordando de geometría analítica, para encontrar la ecuación de una recta necesitábamos dedos cosas, el punto y la pendiente, ya el punto lo conocemos, lo que nos faltaría encontrar es la pendiente, la cual viene dada al evaluar la primera derivada de la función en el punto dado, es decir se encuentra

mtg = f '( x1 )

Por lo que la ecuación de la recta tangente quedaría definida como: y − y1 = f ' ( x1) ( x − x1 ) La recta normal, por su parte, es perpendicular a la tangente,cumpliéndose que: mnor =

−1 −1 = mtg f '( x1)

Resultando la ecuación de la recta normal como: y − y1 = −

1 ( x − x1 ) f '( x1)

CASO 2: El punto P NO pertenece a la curva Como en este caso el punto es exterior a la curva ya no se puede sustituir directamente en la primera derivada para encontrar la pendiente de la tangente, sino que por el contrario debe usarse un punto auxiliar P1 (a, f ( a )) el cual si pertenece a la curva, y por lo tanto se puede evaluar directamente en la derivada.

Aplicando el concepto de pendiente entre dos puntos se puede decir que mtg = que mtg = f ' ( a ) . (Lo puedo hacer ya que P1 si pertenece a la curva).

y1 − f ( a ) x1 − a

Además se sabe

Igualando ambas ecuaciones obtengo que: f ' ( a ) =

y1 − f ( a ) x1 − a

En esta ecuación depende deuna sola variable (a), por lo que es posible determinar su valor, luego se afirma que mtg = f ' ( a ) . Por lo que la recta tangente queda determinada como: y − y1 = f ' ( a ) ( x − x1 ) Nota 1: Para hallar esta ultima recta se podía haber usado también el punto P1 en lugar de P, ya que ambos pertenecen a la curva.

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UCAB. Cálculo 1 Nota 2: Puede ocurrir que al momento desustituir en la ecuación f ' ( a ) =

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y1 − f (a ) quede una ecuación que x1 − a

no sea lineal, en ese caso es posible que exista más de una recta tangente a la curva que pase por un punto exterior dado (P). EJERCICIOS RESUELTOS RECTAS TANGENTES Y NORMALES A UNA CURVA: Ejemplo 1: Dada la curva y = x 3 − 7 x 2 + 10 x , hallar la ecuación de la recta tangente, trazada a dicha curva desdeel origen de coordenadas. Primero debo comprobar si el origen de coordenadas pertenece a la curva, para ello sustituyo (0,0) en la ecuación original, comprobando que si se cumple, por lo que se trata del Caso 1. Por lo que para encontrar la pendiente de la tangente, basta con derivara y sustituir el punto para ello

y ' = 3 x 2 − 14 x + 10 → y ' ( 0, 0) = 10 = mtg
Con la pendiente (m=10) y unpunto (0,0) puedo hallar la ecuación de la recta tangente, siendo esta:

rtan : y = 10 x
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta normal a la circunferencia ( x + 2) + y − 3 donde corta al eje x.
2

(

)

2

= 18 , en los puntos

Primero debo encontrar los puntos donde la circunferencia corta al eje x, es decir los puntos cuya ordenada sea 0. Para ello sustituyo y=0 en la ecuación dela circunferencia:

 P (1,0) ( x + 2) 2 + 9 = 18 → ( x + 2) 2 = 9 → x + 2 = ±3 Obteniendo dos puntos de corte:  1  P2 (−5,0)
Determinado el punto, faltaría determinar la pendiente de la recta normal en cada uno de los pasos, para ello derivo para así encontrar la pendiente de la tangente, y luego la invierto y cambio de signo de forma que obtengo la pendiente de la normal. Derivando de formaimplícita: 2( x + 2) + 2( y − 3) y ' = 0 despejando y ' =

x+2 . 3− y

Para P1 (1,0); mtg = y ' =

1+ 2 = 1 ⇒ mnor = −1 Por punto-pendiente tengo que: rnor1 : x + y − 1 = 0 3−0 −5+2 = −1 ⇒ mnor = 1 Por punto-pendiente tengo que: rnor 2 : x − y + 5 = 0 3−0

Para P2 (-5,0); mtg = y ' =

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Ejemplo 3: Calcule en qué punto del intervalo ( 0, π...
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