Kernel

5.3 definicion de núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal

-núcleo e imagen de una transformación lineal: sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformaciónlineal. Entonces:

1.-el núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:

El núcleo, ker(T)^8 de T contiene todos los vectores en V que se mapean a cero en W.
Ker(T)= {v ε V, T(v)=0 ε W}

Recordemosque el contradominio R(T) de T es el conjunto de todas las imágenes de T en W
R(T)= {w ε W, w=T(v) para algún v ε W}
Se observa que

Se puede ver que nu T, ker(T) y R(T) no esta vacio, esto sedebe al teorema de T(0)=0 de manera que 0 ε nu T para cualquier transformación lineal.
Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuandoescribimos T(0)=0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

1.-la imagen de T, denotado por imagen T, está dado por:

La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de losvectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w=Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Teorema

Si T: V→W es una transformación lineal, entonces:
I. nu T es un subespacio de V
II. imagenT es un subespacio de W

Demostración:
1.- sean u y v en nu T; entonces T(u+v)= Tu+Tv=0+0=0 y T(αu)=αTu=α0=0 de forma que u+v y αu están en nu T

2.- sean w y x en imagen T.
Entonces w=Tu yx=Tv para dos vectores u y v en V.
Esto significa que T(u+v)=Tu+Tv=w+x y T(αu)= αTu=αw.
Por lo tanto, w+x y αw están en la imagen de T.

Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv=0 paratodo v ε V. (T es la transformación 0). Entonces nu T= V e imagen T={0}.

Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv=v para todo v ε V. (T es la transformación identidad). Entonces
nuT={0}e imagen T=V.

las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera está en el núcleo. En la segunda, sólo el vector 0 está en el núcleo.

Núcleo e imagen de un...