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ECUACIÓN CARTESIANA DEL PLANO.

El producto cruz de los dos vectores directores del plano es un vector perpendicular a estos dos y por lo tanto este vector es perpendicular a cualquier vector del plano.
Sea el vector obtenido del producto vectorial de los dos vectores formados con los tres puntos dados del plano, . Si es un punto cualquiera del plano, ó ó son vectores que están en el plano ypor lo tanto , y
Cualquiera de estas igualdades conduce a la ecuación del plano.
Si , entonces , por lo tanto , por lo que .

Al utilizar se obtiene

El valor de debe ser el mismo para cualquier punto que se utilice.

Con lo cual
Ecuación cartesiana del plano cuyo vector normal es |
|

Ejemplo 2: | Encontrar la ecuación cartesiana del plano que contiene los puntos |
| y|
En el ejemplo 1 se encontraron dos vectores directores del plano y y por lo tanto pertenecen al plano. Su producto vectorial es
Se puede proceder de dos maneras:
1)
ó
2) Sabiendo que el vector normal , la ecuación será de la forma
con cualquiera de los tres puntos, que satisfacen la ecuación, por estar en el plano se encuentra el
valor de la constante . Con ,
Ejemplo 3: Encontrarla ecuación cartesiana del plano que contiene los vectores , y que pasa por el origen. ?`Pertenece el punto al plano?

Es obligatorio que la constante puesto que el plano pasa por el origen.
Si el punto pertenece al plano debe satisfacer la ecuación. Puesto que , luego no pertenece a éste plano.
Nota: Planos paralelos tendrán vectores normales paralelos
Planos perpendiculares tendránnormales perpendiculares
Ejemplo 4: | Encontrar la ecuación del plano paralelo al plano que pasa por el punto |
| . Encontrar otro punto del plano. |
El plano tendrá una ecuación de la forma . Al remplazar el punto
La ecuación es si se le da valor a una de las dos variables ( puesto que en este caso la
ecuación no depende de la variable ) se obtiene un punto del plano. Si se tiene que , ycomo puede tomar cualquier valor, .



UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUATITLAN
GEOMETRIA ANALITICA

Ecuacion cartesiana

PROFRE: HECTOR SANCHEZ HERNANDEZ

ALUMNO: HERNANDEZ LOYO ULISES XAVIER

No. De Cuenta 411038375

GRUPO: 1102

Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en unavariable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces[1] como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:
* El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.* Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma .
El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).[2] Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa porla división polinómica sucesiva por factores lineales.
El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.
Demostración
Sea p un polinomio de grado n. p es una función entera. Para cada constante positiva m, existe un número real positivo r tal que

Si p no tiene raíces, la función f = 1 / p, es unafunción entera con la propiedad de que para cualquier número real ε mayor que cero, existe un número positvo r tal que

Concluimos que la función f es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si f es una función entera y acotada, entonces, f es constante y esto es una contradicción.
De manera que f no es entera y por tanto p tiene al menos una raíz. p se puede escribir por tanto como...
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