la casa

Propiedades[editar · editar código]
La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:
el alineamiento: las imágenes depuntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En lafigura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En lafigura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
k = - 1 corresponde a unasimetría de centro C.
Si k ≠ 0, \scriptstyle h_{C, k} admite como trasformación recíproca \scriptstyle h_{C, 1/k} (cuando k = 0, no es biyectiva).
Al componer dos homotecias del mismo centro se obtieneotra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: \scriptstyle h_{C, k} o \scriptstyle h_{C, k'} = \scriptstyle h_{C, k\cdot k'}.
Al componerhomotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman ungrupo.
Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:
todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' =AC/BE en la figura
los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.
Más aún:
k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotaciónalrededor de C de ángulo π radianes (180º).
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una...