la comunicacion

República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Instituto universitario politécnico Santiago Mariño







Matrizes










1. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
 
A toda transformación línea f: v ->w de espacios vectoriales de dimensiones finitas
n y m, respectivamente, se le puede asociar a una matriz A € M mxn,tal que
f(x) = Ax, donde x =
Recíprocamente a toda matriz se le puede asociar con una transformación lineal:
f: v -> w
Esto es de extrema utilidad considerando que:
DimIm(f) = Rango f = Rango A
 

2. Notación:
V: espacio vectorial de salida
W: espacio vectorial de llegada
v: vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial desalida
B1: Base del espacio vectorial de salida
B2: Base del espacio vectorial de llegada
(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida
3.
f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2
A Matriz Asociada de B1 enB2
Gráfico:
V
W
f
f(v)
B2
v
B1
4. Datos: 1 Base de cada espacio vectorialProcedimiento:Tomamos los vectores de la base B1, sacamos sus respectivas imágenes con la transformación lineal dada, expresamos los vectores de la base B2 como combinación lineal de las imágenes obtenidas multiplicándolos por escalares, encontramos los escalares colocándolos en columna junto con los vectores de la base B2 formando una matriz ampliada, resolvemos la matriz hasta llegar a la matriz identidad, a losescalares obtenidos los colocamos en columna en la matriz asociada. 
5. Notas
Cuando trabajamos con las bases canónicas los escalares son las coordenadas de la imágende los vectores.
La imagen se relaciona con el vector atravezde la matriz asociada.
Si multiplico las matrices obtengo la transformación lineal
6. MATRIZ CAMBIO DE BASE
¿Qué debo hacer para obtener un mismo vector expresado endiferentes bases?
Notación:
V: espacio vectorial de salida
W: espacio vectorial de llegada
v: vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida
B1: Base del espacio vectorial de salida
B2: Base del espacio vectorial de llegada
(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida
f(v)B2: Coordenada de laimagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2
A Matriz Identidad de B1 enB2
Gráfico:
W
V
Id
v
B1
F(v)=v
B2

Transformaciones Lineales Inversas
Si S :U→ V y T: V→ W son dos transformaciones lineales, se comprueba inmediatamente que la transformación compuesta
T? S: U→ W, definida por :
(T? S)(u)=T[S(u)], ð uð U
En adelante la transformación lineal T? S serepresentará simplemente por TS.
Obs.- Se podrán definir las potencias de una transformación lineal T:
T2 =TT, T3 =TTT , etc.
 
Nota.- La transformación Iu:U→ U /T(u)=u; ð uð U se llama transformación idéntica de U, y es evidentemente lineal.
 
Transformación Inversa.- Se dice que la transformación lineal T-1 :V→ U es inversa de T si se cumplen las relaciones:
TT-1 =Iv y T-1T=Iu
Segúnvimos el conjunto L(U,V) de las transformaciones lineales de U en V admite una estructura de espacio vectorial.
En E(V) es posible introducir una nueva ley de composición interna, a saber el producto de endomorfismos.
Sean U,V,W tres espacios vectoriales y T1 :U→ V, T2 :V→ W ambas transformaciones lineales, entonces T2T1 es la transformación lineal de U en W/ (T2T1)x=T2(T1x), xð U
Obs.- Sean T1:U→ V, T2 :V→ W , T3:W→ Z entonces:
T3(T2T1)=(T3T2)T1
(ð T1+ð T2)T3=ð T1 T3 + ð T2 T3
 
Teorema.- Una transformación lineal T: U→ V es continua en un punto de U, entonces es uniformemente continua.
 
Teorema.- Una transformación lineal T: U→ V es continua si y solo si existe un número real M>0 tal que para todo u ð U se cumple ð T(U) ð ð M ð U ð .
 
Teorema.- Una transformación...