la derivada y sus componentes


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LA DERIVADA Y SUS COMPONENTES
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variableindependiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: siuna función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde conlapendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejoraproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La funcióncuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denominadiferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.


ComponentesDecimos que una función f es derivable en a si 

límite cuando h tiende a cero de [f(a+h)-f(a)]/h existe 

y se dice que una función es derivable si es derivable en cada punto de sus dominio 

La interpretación gráfica que se le puede dar a la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la función
Como una derivada es un límite pueden darse una de estas tres situaciones: quesea un número, que sea infinito o que no exista.
Definición:
f es derivable en xo si y sólo si existe y es finito el límite para 
de 
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto
Entonces, si la recta secante tiende a la recta tangente, y el cociente incremental tiende a la derivada, resulta que:
La derivada de una función en x0representa , si existe y es finita, lapendiente de la recta tangente a C en Po.
Derivada de función vectorial
Consideremos 
A! Rn con A " R " n " 2 , y t0 pto. interior de A
I.1.-Definición:
Se llama vector derivado de 
en t0 al límite, si existe de:
, cuando t ! 0. Se indica 
.
Resulta: 
= 


Teorema:

(t)= (f1(t);f2(t);.....;fn(t)) es derivable en t0 ! fi (t) es derivable en t0, "i"{1,...,n}
Demostración:

(t)derivable en t0 ! " 

!
" 

!
" 

!
" 
!
" 
= f1'(t0) " ........" " 
=fn'(t0)







Recta tangente y plano normal a una curva en R3
Consideramos 
A! Rn continua ,con A " R " n = 3. La representación gráfica del conjunto imagen es una curva en R3
Consideremos los puntos P y P0 definidos por y por ;el vector tiene el módulo y la dirección de la cuerda PP0 .
Al dividir por t...