La Derivada

LA DERIVADA
Introducción
El análisis matemático es la rama de la matemática que proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de la mecánica y la astronomía nacida de los problemas de la tecnología y la navegación, habíanproporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de movimiento.
El nombre de 'análisis infinitesimal' no dice nada sobre el objeto de estudio, sino que enfatiza el método. Se trata del método matemático especial de los infinitésimos o, en su forma moderna, de los límites.Los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento (con la consiguiente dependencia de unas variables respecto a otras), así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos. Ejemplos sencillos de problemas del primer tipo son:hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme (o, en general, encontrar la velocidad de variación de una magnitud dada), y trazar una tangente a una curva dada. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de 'cálculo diferencial'. Ejemplos muy sencillos del segundo tipo de problemas son: encontrar el área de una figura curvilínea (el problema de lacuadratura), o la distancia recorrida en un movimiento no uniforme, o, en general, el efecto total de la acción de una magnitud continuamente variable. Este grupo de problemas condujo a otra rama del análisis, el 'cálculo integral'.
Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de límite.
 
Sin embargo, son varias lasformas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes:  
Definiciones de Derivada:
Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto
(x , f(x) ) es la derivada de f en x.
  Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendienteigual a la derivada de f en x.
  Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
  Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación enx de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.
NOTACION DE LA DERIVADA
La derivada de y = f (x) con respectoa x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos

Y se lee la derivada de y con respecto de x
No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz(generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.

Interpretación geométrica de la derivada
Si h 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, una recta secante cuya pendiente es


Como indica la figura 2, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el...