la derivada




Nombre del profesor: Samuel Vásquez J.
Nombre Del Alumno: Erick Antonio Placencia navarro
Materia: Matemáticas.
Nombre del Proyecto Final: La Derivada.
Fecha límite de entrega: 3 de Junio.










Incremento.
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), alvalor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] = 
 
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de lafunción
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] = 
Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento simbolizado de la siguiente manera  . Despues de la formulaque tiene  se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre  y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

 


La Derivada.
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es unconcepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que secorresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). Lafunción cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.










Métodos:
Derivada de una función de grado n
Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por  y su derivada es .
Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cubica, entreotras.
Por ejemplo tomemos la función:

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

Quedando finalmente:

Considérese la función 
Se tiene:

Derivada de una constante por una función.
Cuando una función estérepresentada por medio de , su derivada equivale a  de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será...