La Elipse
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Publicado: 10 de octubre de 2012
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
En el gráfico siguiente se muestra dicha intersección:
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ß), pueden obtenersediferentes secciones cónicas, a saber:
La Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.
5.1. Elementos de la elipse:
* Focos
Son los puntos fijos F y F'.
* Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
* Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
* Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
* Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al ejemayor o al eje menor.
* Centro de Simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
5.3. Ecuación Reducida de la Elipse
Tomamos como centro de la elipse el centrode coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
5.4. Ecuación reducida de la elipse con los focos en el eje OY
Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas delos focos son:
* Ecuación de la Elipse
Donde A y B tienen el mismo signo.
* Ecuación de la Elipse de Eje Vertical
Donde A y B tienen el mismo signo.
La Circunferencia
También podemos llamar circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (ver figura). La circunferencia es un caso particular de elipse.
* Ecuación dela Circunferencia
La ecuación anterior elevamos al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
* Ecuación Reducida de la Circunferencia
* Intersección de una Cónica y una Recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una rectaresolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.
En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que dependiendo del signo del discriminante, ?=b2-4ac, las siguientes soluciones serán:
La Parábola
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolongahasta el infinito.
También podemos decir que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
7.1. Elementos de la Parábola
* Foco
Es el punto fijo F.
* Directriz
Es la recta fija d.
* Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
* Eje
Es la rectaperpendicular a la directriz que pasa por el foco.
* Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
* Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
7.2. Ecuación Reducida de la Parábola de Eje Horizontal
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas.
7.3. Ecuación Reducida de la...
En el gráfico siguiente se muestra dicha intersección:
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ß), pueden obtenersediferentes secciones cónicas, a saber:
La Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.
5.1. Elementos de la elipse:
* Focos
Son los puntos fijos F y F'.
* Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
* Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
* Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
* Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al ejemayor o al eje menor.
* Centro de Simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
5.3. Ecuación Reducida de la Elipse
Tomamos como centro de la elipse el centrode coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
5.4. Ecuación reducida de la elipse con los focos en el eje OY
Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas delos focos son:
* Ecuación de la Elipse
Donde A y B tienen el mismo signo.
* Ecuación de la Elipse de Eje Vertical
Donde A y B tienen el mismo signo.
La Circunferencia
También podemos llamar circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (ver figura). La circunferencia es un caso particular de elipse.
* Ecuación dela Circunferencia
La ecuación anterior elevamos al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
* Ecuación Reducida de la Circunferencia
* Intersección de una Cónica y una Recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una rectaresolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.
En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que dependiendo del signo del discriminante, ?=b2-4ac, las siguientes soluciones serán:
La Parábola
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolongahasta el infinito.
También podemos decir que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
7.1. Elementos de la Parábola
* Foco
Es el punto fijo F.
* Directriz
Es la recta fija d.
* Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
* Eje
Es la rectaperpendicular a la directriz que pasa por el foco.
* Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
* Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
7.2. Ecuación Reducida de la Parábola de Eje Horizontal
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas.
7.3. Ecuación Reducida de la...
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