La enseñanza de las matematicas

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO
Juan Antonio Caballero Lasierra

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Llamaremos transformación del plano a una correspondencia puntual, biunívoca entre los puntos de dicho plano, tal que a cada punto considerado como origen, le hace corresponder en el mismo plano un solo punto que se denomina imagen, transformado u homólogo del primero de acuerdo con unacondición previamente establecida. Si esta transformación conserva las distancias y las relaciones de incidencia y ordenación de puntos la transformación recibe el nombre de movimiento y, como consecuencia de esto, un movimiento transforma un ángulo en otro igual.
Si un movimiento transforma un elemento: punto, recta, etc. en sí mismo, este elemento se llama punto, recta, etc. doble.
Si unmovimiento conserva el sentido, es decir, si al punto A se transforma en A’, el B en B’ y el C en C’ y al hacer el recorrido de estos puntos en el orden ABC se va en el sentido de las agujas del reloj (o contrario) y al hacer el recorrido de sus homólogos A’B’C’ se conserva el sentido, el movimiento se denomina directo y si se cambia el sentido, el movimiento se denomina inverso. Hay tres tipos demovimientos directos: la simetría central, el giro y la traslación y un movimiento inverso: la simetría axial.

Simetría Central: Se denomina simetría Central de centro un punto O del plano a la transformación que hace corresponder a cada punto A otro que designaremos por A’ tal que el punto O sea el punto medio del segmento AA’.
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De la definición se deduce que las rectas que pasan por elcentro son dobles, es decir, se transforman en sí mismas y si una recta no pasa por el centro, se transforma en otra paralela.
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Ejercicios de aplicación:
Ejercicio 1. Dadas dos rectas r y s y un punto P, trazar por P una recta tal que sus puntos de intersección con r y s determinen un segmento cuyo punto medio sea P.

Ejercicio 2. Construir un triángulo ABC dadas las longitudes de sus tresmedianas.

Giro: Se denomina giro de centro un punto O del plano y ángulo orientado (, al movimiento que transforma un punto A en otro A’ tal que OA = OA’ y el ángulo AOA’, con vértice en O es igual en amplitud y sentido al ángulo (.
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De la definición se deduce que en un giro, cualquiera que sea el ángulo (, son dobles el centro O y las circunferencias de centro en O, si bienestas no son de puntos dobles.
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Ejercicios de aplicación:
Ejercicio 3. Construir un triángulo equilátero cuyos vértices A, B, C estén situados, respectivamente, en las rectas r, s y t que son paralelas entre sí.

Ejercicio 4. Construir un cuadrado que tenga un vértice en un punto dado O y los dos contiguos A y B en la recta r el primero de ellos y en la recta s el segundosuponiendo que estas rectas no pasan por O.
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Traslación: Se denomina traslación definida por un vector dado v al movimiento que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ tal que el vector definido por A y A’ tiene los mismos módulo, dirección y sentido que el vector dado v.
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De la definición se deduce que los únicos elementos dobles que existen en una traslación son lasrectas paralelas al vector v si bien sus puntos no son dobles pues ninguno se transforma en sí mismo.
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Ejercicios de aplicación:
Ejercicio 5. Dados en un plano dos puntos M y N y dos rectas r y r’, construir un paralelogramo MNPQ de forma que los vértices P y Q estén cada uno en una de las rectas dadas.

Ejercicio 6. Dadas en el plano dos circunferencias de centros O y O’respectivamente, encontrar un punto A de la primera y un punto B de la segunda de tal manera que el segmento AB tenga longitud y dirección iguales a las de un vector dado.

SIMETRÍA AXIAL: Se denomina simetría axial de eje una recta dada e a una transformación que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ de forma que la recta e sea mediatriz del segmento AA’.
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