La parabola

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GEOMETRIA ANALITICA

LA PARABOLA

INTEGRANTES DEL GRUPO:

Carmen Prieto
Mirta bustos
Paola Cortés
Mario Pino

LA PARABOLA

En su estudio previo de Geometría elemental, elestudiante conoció dos líneas: la línea recta y la circunferencia. Las dos líneas ya han sido estudiadas desde el punto de vista analítico. Ahora comenzamos el estudio de ciertas curvas planas no incluidas, ordinariamente, en un curso de geometría elemental. Empezaremos con la curva conocida con el nombre de parábola.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano detal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.

Designemos por F y l (Fig.1), el foco y la directriz de una parábola,respectivamente. La recta a que pasa por f y es perpendicular a l se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como BB`, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en particular, una cuerda que pasa porel foco como CC´, se llama cuerda focal. La cuerda focal LL perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado.

Veremos que la ecuación de una parábola toma su forma más simple cuando suvértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen (fig. 2) y cuyo eje coincide con eje X. entonces el foco F está sobre el eje X; sean (p, o) sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz l es x = - p. sea P (x, y) un punto cualquiera de la parábola. Por P tracemos elsegmento PA perpendicular a l. entonces, por la definición de parábola, el punto debe satisfacer la condición geométrica.
(1)

Por el teorema 2 de artículo 6, tenemos:
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Y por el teorema 9 (Art. 33), tenemos
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Por tanto, la condición geométrica (1) está expresada, analíticamente, por la ecuación:[pic]
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y simplificamos, obtenemos

(2)

Recíprocamente, sea P1 (X1, Y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan (2). Tendremos:

Si sumamos (x1 - p)2 a ambos miembros de esta ecuación, y extraemos la raíz cuadrada, obtenemos, par alaraíz positiva,
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Que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P1. por tanto, P1 está sobre la parábola cuya ecuación está dada por (2).
Ahora discutiremos la ecuación (2) siguiendo el método explicado en el Artículo 19. Evidentemente, la curva pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. La única simetría queposee el lugar geométrico de (2) es con respecto al eje X. despejando y de la ecuación (2), tenemos:
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Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y x deben ser del mismo signo. Según esto, podemos considerar dos casos: p > 0 y p < 0.
Si p > 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha...