La parabola

La parábola
es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Partes de la parábola













1. Foco: es el punto fijo F
2. Directriz: es la recta fija D
3. Parámetro: es la distancia del foco a la directriz se designa por la letra P
4. Eje focal: es la rectaperpendicular a la directriz que pasa por el foco y la directriz
5. Vértice: es el punto de intercesión entre la parábola y su eje
6. Lado recto: es el segmento que pasa por el foco y corta en dos puntos a la parábola








Ecuación de la parábola con vértice en el origen

Por definición sabemos que la distancia del punto P(X,Y) y el foco, es la misma distancia delpunto P(X,Y) a la directriz.




Entonces:




Y



Igualando las dos ecuaciones tenemos:


Elevando al cuadrado los dos miembros obtenemos:

Y al simplificar cada todo el resultado tenemos:






Con esta ecuación podemos ver, qué dirección tiene la parábola, pero tenemos diferentes posibilidades:
Primera posibilidad: La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia laderecha en el eje de las abscisas “X”, y tiene las siguientes ecuaciones

Ecuación de la parábola: y2 = 4PX Lado recto: LR= 4P
Ecuación de la directriz: X + P = 0
Foco: F = (P, 0)
Eje focal: Y=0
Grafico:








Segunda posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo)  del eje de las abscisas “X”Ecuación de la parábola: y2 = -4PX Lado recto: LR= 4P
Ecuación de la directriz: X - P = 0
Foco: F = (-P, 0)
Eje focal: Y=0
Grafico:





Tercera posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia  arriba en el  eje de las ordenadas  “Y” 
Ecuación de la parábola: X2 = 4PYLado recto: LR= 4P
Ecuación de la directriz: Y + P = 0
Foco: F = (0, P)
Eje focal: X=0
Grafico:









Cuarta posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia abajo en el eje de las ordenadas  “Y”
Ecuación de la parábola: X2 = -4PY Lado recto: LR= 4P
Ecuación de la directriz: Y - P = 0
Foco: F = (0, -P)
Eje focal: X=0Grafico:





Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen
Este tipo de parábola se da cuando el vértice tiene coordenadas (h, K), el cual es distinto al origen
Al igual que la parábola con centro en el origen esta tiene diferentes posibilidades de ubicación las cuales son:

Primera posibilidad: Que la parábola se abra hacia la derecha en el eje de lasabscisas “X”.
Ecuación de la parábola:    (y – k)2 =  4p(x – h)
Ecuación de la directriz:      x – h + p = 0
Foco: F (h + P, k)
Eje focal: Y=k

Grafico:








Segunda posibilidad: Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola:          (y – k)2 = 4p(x – h)
Ecuación dela directriz:             x – h – p = 0
Foco: F (h - P, k)
Eje focal: Y= k

Grafico:



Tercera posibilidad: Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas “Y”
Ecuación de la parábola:       (x – h)2 = 4p (y – k)
Ecuación de la directriz:      y – k + p = 0
Foco: F (h, k + P)
Eje focal: X=h

Grafico:Cuarta posibilidad: Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo)  del eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola:    (x – h)2 = –4p (y – k)
Ecuación de la directriz:     y – k – p = 0
Foco: F (h, k - P)
Eje focal: X=h

Gráfico:









Obtención de la ecuación general de la parábola
Para llegar a dicha expresión o forma general, es...