La Paradoja De Zenon
Páginas: 8 (1816 palabras)
Publicado: 10 de agosto de 2012
La Paradoja de Zenón.
En este capítulo se estudian unos problemas en parte planteados hace unos 2400 años, cuando el filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas. Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja del corredor se puede exponer de la manera siguiente:
Un corredor no puede alcanzarnunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que correr la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte, cuando haya corrido la mitad de esta cuarta parte, le quedará la octava parte y así sucesiva e indefinidamente.
Zenón pensó,evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con más detalle se supone que el corredor parte del punto marcado con 1 en la figura 10.1 y corre hacia la meta marcada con 0. Las posiciones indicadas por 1/2, 1/4, 1/8,..., etc., señalan la fracción de carrera que se ha decorrer todavía cuando se alcanza el punto marcado. Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada vez más pequeñas. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la sumatotal de todas estas cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número infinito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.
La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita, fue contradicha 2000años más tarde con la creación de la teoría de las series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la «suma» de un conjunto de infinitos números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de lasdificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con más detalle.
Supóngase que el corredor antes mencionado, corre a velocidad constante y que necesita T minutos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará T /2 minutos, para el octavo siguiente T / 4 minutos y en general para la parte comprendida entre 1/2n y 1/2n+1necesitará T /2n minutos. La «suma» de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:
(10.1) T+ T/2 + T/4+ ... + T/2n+ …
Este es un ejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir si es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.
La experiencia física dice que elcorredor que corre a velocidad constante alcanzará su meta en un tiempo doble del que necesitaba para alcanzar su punto medio.
FIGURA 10.1 La paradoja de Zenón.
Puesto que necesita T minutos para la mitad del recorrido, había de emplear 2T minutos para el recorrido completo. Este razonamiento sugiere que se debe asignar la «suma» 2T a la serie en (10.1) esperando que la igualdad
(10.2)T + T/2 + T/4 + ... + T/2n + ... = 2T
pueda ser «valida» e algún sentido.
La teoría de las series infinitas precisa cómo se ha de interpretar esta igualdad. La idea es la siguiente: Primero se suman un número finito de términos, los n primeros, indicando esta suma por sn. Así se tiene:
(10.3) sn = T + T/2 + T/4+ … + T/2n-1
y esta suma se denomina suma parcial n-sima. Se...
En este capítulo se estudian unos problemas en parte planteados hace unos 2400 años, cuando el filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas. Una de ellas, llamada frecuentemente la paradoja del corredor se puede exponer de la manera siguiente:
Un corredor no puede alcanzarnunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que correr la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte, cuando haya corrido la mitad de esta cuarta parte, le quedará la octava parte y así sucesiva e indefinidamente.
Zenón pensó,evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con más detalle se supone que el corredor parte del punto marcado con 1 en la figura 10.1 y corre hacia la meta marcada con 0. Las posiciones indicadas por 1/2, 1/4, 1/8,..., etc., señalan la fracción de carrera que se ha decorrer todavía cuando se alcanza el punto marcado. Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada vez más pequeñas. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la sumatotal de todas estas cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número infinito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita.
La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita, fue contradicha 2000años más tarde con la creación de la teoría de las series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la «suma» de un conjunto de infinitos números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de lasdificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con más detalle.
Supóngase que el corredor antes mencionado, corre a velocidad constante y que necesita T minutos para la primera mitad del recorrido. Para el siguiente cuarto de recorrido necesitará T /2 minutos, para el octavo siguiente T / 4 minutos y en general para la parte comprendida entre 1/2n y 1/2n+1necesitará T /2n minutos. La «suma» de todos estos intervalos se puede indicar simbólicamente escribiendo la siguiente expresión:
(10.1) T+ T/2 + T/4+ ... + T/2n+ …
Este es un ejemplo de las llamadas series infinitas y el problema aquí está en decidir si es posible encontrar una forma natural de asignarle un número que se pueda llamar suma de la serie.
La experiencia física dice que elcorredor que corre a velocidad constante alcanzará su meta en un tiempo doble del que necesitaba para alcanzar su punto medio.
FIGURA 10.1 La paradoja de Zenón.
Puesto que necesita T minutos para la mitad del recorrido, había de emplear 2T minutos para el recorrido completo. Este razonamiento sugiere que se debe asignar la «suma» 2T a la serie en (10.1) esperando que la igualdad
(10.2)T + T/2 + T/4 + ... + T/2n + ... = 2T
pueda ser «valida» e algún sentido.
La teoría de las series infinitas precisa cómo se ha de interpretar esta igualdad. La idea es la siguiente: Primero se suman un número finito de términos, los n primeros, indicando esta suma por sn. Así se tiene:
(10.3) sn = T + T/2 + T/4+ … + T/2n-1
y esta suma se denomina suma parcial n-sima. Se...
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