La plaça

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)

Límites. Regla de L'Hôpital
tg x − 8
π
x → sec x + 10

1. Calcular lim
2

(Septiembre 1999)
Solución:

lim
π
x→
2

∞
tg x − 8
da lugar a una indeterminación del tipo
. Llamemos f(x) = tg x − 8 y
∞
sec x + 10

g(x) = sec x + 10 =
(en particular en

1
+ 10 . Entonces f y g son derivables en su domino de definición
cos x

π
y en un entorno suyo):
2

f '(x) = sec 2 x =

1
−1
sen x
⋅ (−sen x) =
y g '(x) =
2
2
cos x
cos x
cos 2 x

1
2
f '(x)
cos 2 x
1
De este modo, lim
= lim cos x = lim
= lim
=1
π g '(x)
π sen x
π cos 2 x ⋅ sen x
π sen xx→
x→
x→
x→
2
2
2
2
cos2 x
π
podemos aplicar la regla de L'Hôpital y se
2
f (x)
f '(x)
tg x − 8
= lim
= 1. †
⇒ lim
tiene que lim
π g(x)
π g '(x)
π sec x + 10
x→
x→
x→
Al ser f y g son derivables en un entorno de

2

2. Calcular lim
x →0

2

2

x − sen x
tg x − sen x
(Septiembre 2000)

Solución:

lim
x →0

0
x − sen x
es una indeterminación del tipo
.Llamemos f (x) = x − senx y
0
tg x − sen x

g(x) = tg x − sen x . Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en
particular en 0 y en un entorno suyo):

f '(x) = 1 − cos x y g '(x) = sec2 x − cos x =

1
1 − cos3 x
− cos x =
cos2 x
cos 2 x

Límites. Regla de L'Hôpital

1

Matemáticas II – Ejercicios resueltos de los exámenes de Selectividad propuestos enCastilla-La Mancha
Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)

f '(x)
1 − cos x
cos 2 x(1 − cos x)
(1), que vuelve a ser una
= lim
= lim
x → 0 g '(x)
x → 0 1 − cos3 x
x→0
1 − cos3 x
cos 2 x
0
indeterminación del tipo .
0
Por tanto lim

Llamemos cos x = z . Entonces 1 − cos3 x = 1 − z 3 . Pero, aplicando la regla de Ruffini,

1 − z 3 = −z3 + 1 = (z − 1)(− z 2 − z − 1) = (1 − z)(z 2 + z + 1) .
1 − cos3 x = (1 − cos x)(cos 2 x + cos x + 1) .

Luego

la

Por

tanto

expresión

(1)

se

tiene
es

que

igual

a

cos 2 x(1 − cos x)
cos 2 x
1
= lim
= .
2
2
x → 0 (1 − cos x)(cos x + cos x + 1)
x →0 cos x + cos x + 1
3

lim

Como f y g son derivables en un entorno de 0 podemos aplicar la regla deL'Hôpital y se

f (x)
f '(x)
x − sen x
1
= lim
⇒ lim
=
x → 0 g(x)
x →0 g '(x)
x → 0 tg x − sen x
3

tiene que lim

Se puede aplicar otra vez la regla de L'Hôpital pues la derivada de f(x),

f '(x) = cos2 x(1 − cos x) = cos 2 x − cos3 x , y la derivada de g(x), g '(x) = 1 − cos3 x ,
vuelven a ser derivables en un entorno de 0:

f ''(x) = 2cos x(−sen x) − 3cos2 x(−sen x) = senx(3cos 2 x − 2cos x)
g ''(x) = −3cos 2 x(−sen x) = 3sen x cos2 x
f ''(x)
sen x(3cos2 x − 2 cos x)
3cos 2 x − 2cos x 3 − 2 1
= lim
= lim
=
=
x → 0 g ''(x)
x →0
x →0
3sen x cos2 x
3cos 2 x
3
3

Entonces lim

f (x)
f '(x)
f ''(x)
x − sen x
1
= lim
= lim
⇒ lim
= .†
x → 0 g(x)
x →0 g '(x)
x →0 g ''(x)
x → 0 tg x − sen x
3

Por tanto lim

3. Calcula lim
x →0

1 − cosx

(e

x

− 1)

2

(Junio 2001)
Solución:

lim
x →0

1 − cos x

(e

x

− 1)

2

= [Indeterminación del tipo

0
]. Procediendo como en los dos ejercicios
0

anteriores, aplicamos la regla de L'Hôpital, pues tanto

f (x) = 1 − cos x

como

g(x) = ( e x − 1) son funciones derivable en todo ¡ :
2

Límites. Regla de L'Hôpital

2

Matemáticas II – Ejerciciosresueltos de los exámenes de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Autor: Pedro Castro Ortega, profesor del IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real)

f '(x)
−(−sen x)
sen x
= lim
= lim
, que vuelve a ser una indeterminación del
x
x
x → 0 g '(x)
x → 0 2(e − 1)e
x →0 2(e 2x − e x )

lim

0
. Aplicamos pues la regla de L'Hôpital a f '(x) y a g'(x), que son...