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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
(apuntes escritos por Dr. Manuel Pargada)

1. INTRODUCCIÓN
Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x ) cumpliendo condiciones
adecuadas en I=[a,b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo :
• La operación D de derivación :

D[ f ( x) ] = f ′( x)

• La operación I de integración :

I [ f ( x )] = ∫ f ( t )d t

• Latransformación Mg definida por :

x

a

M g[ f (x )] = g ( x ) ⋅ f ( x )

siendo g(x ) una función concreta.
En cada caso, hay que asignar alguna restricción a las funciones f(x ) a las que se aplica una
transformación dada. Así, en el primer ejemplo, f(x ) debe ser derivable en un cierto intervalo,
etc.
Las tres transformaciones citadas son lineales, es decir, que verifican :

T [c 1 f1 ( x ) + c 2 f 2 ( x ) ] = c1T [ f 1( x ) ] + c 2T [ f 2 ( x ) ]

∀ c1 , c 2 ∈ ℜ

Una clase importante dentro de las transformaciones
lineales, son las llamadas
transformaciones integrales. Se consideran las funciones f(x ) definidas en un intervalo finito
o infinito a ≤ x ≤ b y se escoge una función fija K(s,x ) de la variable x y el parámetro s.
Entonces la correspondiente transformadaintegral está dada por :
b

T [ f ( x )] = ∫ K( s , x ) f ( x )d x = F( s )
a

La función K(s,x ) se llama núcleo de la transformación T. Se muestra fácilmente que T es
lineal, cualquiera que sea la K(s,x).

1

En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales,
adaptadas a la resolución de diversos problemas : transformada de Fourier,transformada de
Fourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.
Se trata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada para
simplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales
sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada en
teoría de circuitos.
Antes de entrar ensus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada de
Laplace así como sus propiedades fundamentales y más útiles.

2. DEFINICIÓN Y TRANSFORMADAS DE ALGUNAS
FUNCIONES ELEMENTALES

D efinición
Sea f(t) definida en ( 0 , ∞ ). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la
función [f(t)] = F(s), definida por la integral

L[ f ( t )] = ∫0∞ e −st

f ( t )d t = F( s )[1]

Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá ser
convergente para ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformada
de Laplace de f (t ), o que f (t ) es - transformable.
Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientesconstantes y algunas de coeficientes variables.
En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

Ejemplo 1:

Sea f(t) = 1 , t ≥ 0

∞ − st
e ⋅1⋅ d t
0

[1] = ∫

=

λ
lim 0 e − st d t
λ →∞

∫

λ

 e − st 
 1 e − sλ 
= lim  −
= lim  −

⇒
λ→∞
s
 s  0 λ →∞  s

2

1

[1] = s
Nota Si

fuese

, s>0

complejopues la integral diverge para s ≤ 0

s,

es

s = s1 + i s2 ,

decir,

entonces

e − st = e − (s1 + i s2 ) t = e − s1 t (cos s2 t − isen s2 t ) y la integral impropia anterior sólo converge si s1
> 0 , es decir Re (s) > 0.

Ejemplo 2: Sea f(t) = eat , t ≥ 0

[e ] = ∫

∞ − st at
e ⋅ e ⋅ dt
0

at

∞

= ∫ e − ( s −a ) t dt Es el caso anterior cambiando s por s - a.
0

Luego:1
[e ] = s − a
at

, s>a

Ejemplo 3: Sea f(t) = t a , a ∈ R , t ≥ 0

[t ] = ∫
a

∞ − st

0

e

[t ] = s 1
a

⋅ta ⋅d t

Cambio: st = x . Entonces: t =

x
,
s

dt =

dx
s

y

∞ −x

a +1 ∫0

e ⋅ x a ⋅ d x Luego:

[t ] = Γ (sa + 1)
a

a +1

si

s > 0 a > −1

En particular :

[t ] = sn!
n

n +1

s > 0 n∈N

1

[t ] = s2

s>0

Ejemplo...