La Proporción Aurea

La Proporción Aurea
1.- Introducción
De forma simple, la Proporción Aurea establece que lo pequeño es a lo grande como lo grande es al todo. Habitualmente esto se aplica a las proporciones entre segmentos. Esta razón ha sido venerada por toda cultura en este planeta. Podemos encontrarla en el arte, la composición musical, incluso en las proporciones de nuestro propio cuerpo, y en general en todala Naturaleza "escondida" detrás de la secuencia de Fibonacci. En este sitio también proporcionamos algunos ejemplos de disciplinas en donde la presencia de la Proporción Aurea resultaba insospechada hasta hace poco. Este es el caso, por ejemplo, de la Física Atómica o la población de los codones del ADN del genoma humano completo.
Es este artículo voy a presentar lo básico sobre la ProporciónAurea. Como no me gusta dar las cosas por supuestas, tampoco espero que tu lo hagas. Por lo tanto, intentaré proporcionar demostraciones matemáticas o geométricas cortas de mis afirmaciones (no temas, no te vas a enfrentar a ninguna ecuación diferencial en derivadas parciales). Vamos a hablar sobre la definición de la Proporción Aurea, su construcción geométrica, algunas propiedades matemáticas, yalgunos objetos geométricos importantes donde se puede encontrar. Las "aplicaciones" se dejan para las páginas separadas que puedes encontrar en la sección "Y mucho más...", aunque te recomiendo leer este artículo primero.
2.- La Proporción Aurea como un valor límite
Es importante enfatizar que, aunque los Griegos dieron a la Proporción Aurea su nombre Phi (φ), como su nombre indica en realidad esuna razón o cociente. Esta razón puede obtenerse en forma de límite del tipo de sucesión general siguiente (nos dimos cuenta de esta propiedad al ller la web de R.W. Ray). Dados dos elementos iniciales positivos a0 y a1, calculamos el elemento general an como la suma de los dos elements precedentes:
an+1=an+an-1
Como consecuencia, la razón de dos elementos consecutivos de lasucesión qn=an/an-1 también sigue una sucesión:
an+1an=1+an-1an⇒qn+1=1+1qn
Si las razones consecutivas qn tienden a un valor límite Q, este tiene que satisfacer la ecuación
Q=1+1Q
Ello nos lleva a la conocida ecuación de segundo grado cuya solución positiva es φ:
Q2=Q+1⇒Q>0Q=φ=5+12
Lo que este resultado nos indica es que la razón entre dos valores consecutivos de cualquier sucesión de este tipo siempre se aproxima a φ.Notad que la Proporción Aurea está conectada con la forma como se construye la sucesión, pero no con ningún ejemplo particular de esa construcción. Podríamos proponer un número infinito de sucesiones de ese tipo dependiendo de los valores iniciales a0 and a1. Por ejemplo, cuando a0=2 y a1=1 obtenemos la Sucesión de Lucas:
Sucesión de Lucas:2,1,3,4,7,11,18,29,…
n
L(n)
qn = L(n)/L(n-1)
1
2
---
2
1
1/2= 0.500
3
3
3/1 = 3.000
4
4
4/3 = 1.333
5
7
7/4 = 1.750
6
11
11/7 = 1.571
7
18
18/11 = 1.636
8
29
29/18 = 1.611
9
47
47/29 = 1.620
10
76
76/47 = 1.617
Tabla 1: El cociente de elementos consecutivos de la sucesión de Lucas converge a laProporción Aurea.
Pero hay una sucesión muy especial que está íntimamente relacionada con la Proporción Aurea, y esta es la Sucesión de Fibonacci(a0=1, a1=1):Sucesión de Fibonacci:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
n
F(n)
qn = F(n)/F(n-1)
1
1
---
2
1
1/1 = 1.000
3
2
1/2 = 0.0500
4
3
3/2 = 1.500
5
5
5/3 = 1.666
6
8
8/5 = 1.600
7
13
13/8 = 1.625
8
21
21/13 = 1.615
9
34
34/21 = 1.619
10
55
55/34 = 1.617
Tabla 2: El cociente de elementos consecutivos de la sucesión de Fibonacci converge a laProporción Aurea.
¿Y por qué es tan especial la sucesión de Fibonacci? Bien, almenos por el hecho de que, como Drunvalo Melchizedek apunta en su primer libro "El antiguo secreto de la Flor de la Vida", la Naturaleza utiliza esta propiedad para construir sucesiones de longitudes que convergen a la Proporción Aurea, como son las distancias entre ramas sucesivas de un árbol, o las hojas sucesivas en una rama, o las dimensiones de nuestro propio cuerpo:


Figura 1: Dos...