La resolución de ecuaciones polinomicas

Introducción

Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado (despejando la incógnita) y la gran mayoría recordamos la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. Tambiénmuchos, aunque posiblemente menos, sabrán que hay fórmulas del mismo tipo para las ecuaciones de grados tres y cuatro. Y algunos menos que no se puede resolver de manera general la ecuación de quintogrado





















Historia de la ecuación de quinto grado
Al comenzar el siglo XIX seguía abierto un problema clásico: Hallar la solución para la ecuación general de 5ºgrado, a partir de sus coeficientes y mediante operaciones racionales y extracción de raíces.

Era un problema de solución pendiente desde que Tartaglia y Cardano dieran el método algebraico parahallar la solución de la ecuación de tercer grado y Bombelli la de cuarto (primera ocasión en que se superaban los logros de la matemática griega). Quien lo resolviera lograría fama imperecedera, y deaquí que casi todo joven matemático intentase la solución. Pero tras tantos años de esfuerzos había cobrado cuerpo la conjetura de que esa resolvente era imposible de hallar.

Niels Henrik Abel(1802 - 1829), a los 19 años pretendía haber encontrado la solución, pero vió un error en su demostración. Esto le llevó a dar un giro radical en el planteamiento del problema. En lugar de preguntarse:¿cuál es la resolvente de la ecuación algebraica de 5º grado?
se preguntó:
¿qué condiciones han de cumplir las raíces de una ecuación para que ésta tenga solución?
el logro de una capital deresultado:
Para n $ 5 no se pueden cumplir tales condiciones
Así, la ecuación de 5º grado es imposible de resolver algebraicamente. Al invertir el problema, "atacándolo por la espalda", demostró porqué no se puede resolver.
Abel trabajó con las permutaciones de las raíces, cuya estructura de grupo estudiará Evariste Galois (1811 - 1832). El Álgebra deja de ser el estudio de la resolución de...