La teoria de conjuntos

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Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
Georg Cantor
Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede habernúmeros, letras, plantas, personas, mastodontes, prácticamente cualquier cosa.

Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementosduplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión.
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es unelemento de A"). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puedemencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir

La característica importante de este conjunto es que satisface todos loselementos posibles que no están contenidos en él, es decir
.
Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplenla propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .
Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:

donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo sitodo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:


Subconjuntos y Superconjuntos


Diagrama de Venn que muestra
Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición,no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A essubconjunto impropio de sí mismo.
Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,
y también que:
,
significando que es superconjunto propio de .
Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que es una relación de...
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