La voragine

L´ gica Simb´ lica y Demostraciones o o
Introducci´ n al C´ lculo o a ı a Diego Alejandro Mej´a Guzm´ n

El estudio de las formas de pensamiento y los m´ todos de razonamiento se remonta desde el siglo V a.C. e en las civilizaciones de China, India y Grecia. Fue en tiempo de Arist´ teles donde esta ciencia del lenguaje o 1 , la cual se estudi´ desde la filosof´a. No fue sino hasta el y laargumentaci´ n tom´ el nombre de L´ gica o o o o ı siglo XIX que la l´ gica comenz´ a formar parte de las matem´ ticas: bajo el nombre de l´ gica s´mb´ lica o o o a o ı o matem´ tica, se lograron modelar los m´ todos argumentativos a partir de un lenguaje b´ sico y un (peque˜ o) a e a n conjunto de principios que, mediante c´ lculos “matem´ ticos” sencillos, permiten generar las leyes univera a salesdel razonamiento. Si bien es cierto que la l´ gica tiene distintos enfoques, las matem´ ticas est´ n fundamentadas sobre la o a a L´ gica Cl´ sica y es donde centraremos el estudio de este cap´tulo. Otro tipo de l´ gicas, como la modal, o a ı o difusa y probabil´stica, entre otras, aunque presentan formas alternativas e interesantes de estudiar los m´ toı e ´ dos de razonamiento, no har´ n partesde este curso, puesto que sobre estos no se fundamenta la matem´ tica a a formal. La l´ gica simb´ lica, en principio, se caracteriza por estructurar el razonamiento desde la sintaxis, es deo o cir, desde el lenguaje y los principios l´ gicos, de forma independiente al significado de las afirmaciones ino volucradas. Dar a entender lo anterior ser´ el prop´ sito de este cap´tulo, el cual nodesarrollaremos con la riga o ı urosidad total con que se estudia, pero s´ con la suficiente para dar al razonamiento un esquema matem´ tico ı a claro y para dar un primer indicio de la estructuraci´ n formal de las matem´ ticas. o a Dividimos este cap´tulo en cinco secciones: en la primera secci´ n estudiamos el C´ lculo Proposicional, ı o a donde introducimos la notaci´ n b´ sica de la l´ gica simb´logica, para luego materializar la forma de efectuar o a o o deducciones en la segunda secci´ n. En la tercera secci´ n extendemos el lenguaje de la l´ gica y proponemos, o o o de forma intuitiva, el C´ lculo de Predicados. Las tres secciones anteriores permiten introducir los m´ todos a e ´ de demostraci´ n en matem´ ticas, los cuales estudiamos en la cuarta secci´ n. Por ultimo, introducimos la o a onotaci´ n de la Teor´a de Conjuntos. o ı

1. El C´ lculo Proposicional a
El C´ lculo Proposicional es la primera forma en la l´ gica cl´ sica sobre la cual se analizan el argumento a o a l´ gico mediante m´ todos matem´ ticos sencillos. Lo primero que hay que entender para su estudio es el o e a lenguaje sobre el que se presenta, el cual consta de pocos, pero poderosos ingredientes. Acontinuaci´ n o introducimos paso a paso cada s´mbolo de este lenguaje, junto con su respectiva interpretaci´ n. ı o 1. Letras (Predicativas). Usamos las letras del alfabeto para respresentar afirmaciones a las cuales se les
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Proviene del griego logos, que significa “palabra, pensamiento, argumento”.

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puede dar un valor de verdad. Por ejemplo, P : 1 + 1 = 2. Q : Est´ lloviendo. a R : Las vacasvuelan. En este caso, P es una afirmaci´ n verdadera, Q es verdadera o falsa seg´ n el contexto y R es falsa (al o u menos en este planeta). Es importante que una afirmaci´ n representada por una letra predicativa pueda o tomar un valor de verdad, por lo cual denotamos por V el valor verdad, y por F el valor falso. Por ejemplo, frases como “π” “tres relojes” “du´ rmete” o “hazme un favor” no sepueden representar por e una letra predicativa, puesto que no toman valores de verdad o falso. Por lo tanto, no se consideran como afirmaciones del c´ lculo proposicional. a Los siguientes signos los llamaremos s´mbolos l´ gicos, los cuales son operadores que se aplican a afirı o maciones para modificar su valor de verdad. Cada s´mbolo l´ gico tiene su propio significado y su tabla de ı o verdad, la cual...