Las ecuaciones
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales ocomplejas, dadas por la fórmula general:
,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
y
son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebraelemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminantees positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
Dosnúmeros complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).
[editar]Deducción de la fórmula general
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomiode segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Sea dada la ecuación:
dondepara garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.
Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:
Restamos el valor del términoindependiente en ambos miembros de la igualdad:
Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitaddel coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:
Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:
Hacemos la operación confracciones en el miembro derecho:
Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:
Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:
Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:...
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