Lataman

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EJEMPLO:- La ecuación de la normal a la elipse x29+y24=1
En el punto mismo P (2;203) (figura del n° 114) es
9x2-4y203=5 Ó sea 9203x-8y= 10203
Y también 45x-620y=50
117. Propiedad fundamental de la normal y de la tangente a la elipse.
TEOREMA. La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos no pertenecientes al eje focal, contiene a la bisectriz del ángulo formado por lassemirrectas originadas en él y que pasan por los focos. La tangente en el mismo punto contiene a la bisectriz del ángulo adyacente al que tiene por lados las antedichas semirrectas.
En símbolos: Si N es el punto de intersección de l normal a una elipse en el punto P (x; y) con el eje focal FF´, es PN bisectriz de FPF´ y PT bisectriz del FPF´1.
O
OY
P(x1; y1) F1
P(x1; y1) F1

t
t

π
π
X
F´ N F T

En efecto: Sabemos que los focos tienes las siguientes coordenadas: F(c; o) y F´(- c; O)
En cuanto alpunto N, sus coordenadas se determinan haciendo y=0 en la ecuación de la normal.
a2xx1-b2yy1= c2
Lo cual da x=c2 x1a2 luego Nc2x1a2;0
Por lo tanto, med FN c2x1a2-c=c2x1-a2ca2(n°3 Cor.)
Y med F´N =c2x1a2--c=c2x1+a2ca2
De donde FNF´N= med FNmed F´N=cx1-a2cx1+a2
Pero el primer miembro de esta igualdad es la razón simple (FF´N) y el último es un númeronegativo, puesto que, siendo
x1<a y c<a es cx1 <a2
De donde resulta que el numerador es siempre es siempre negativo y el denominador es siempre positivo; luego el punto N es interior al segmento FF´.
Por otra parte (n° 104 reciproco)
med PF=a- cax1=a2-cx1a
Y med PF´=a+cax1= a2+c x1a
De donde PFPF´= med PFmed PF´=a2-c x1a2+cx1
Valor que comparado con el de FNF´Nresultaigual en valor absoluto, es decir FNFN´=PFPF´
En consecuencia, en el triángulo PFF´ el punto N divide al lado FF´ en dos segmentos aditivos proporcionales a los otros dos lados, lo que nos dice que PN es la bisectriz del ángulo FPF´. Finalmente, siendo la tangente perpendicular a la normal en P y PN bisectriz del FPF 1´.
118. Secantes, cuerdas, diametrales y diámetros. – Se denominan secante deuna elipse las rectas que tienen dos puntos comunes con ella. Dichos puntos se llaman puntos de intersección o puntos en que la elipse es cortada por las secantes.
Se da el nombre de cuerdas de una elipse a los segmentos, de las secantes, que tienen por extremos los puntos de intersección de las mismas con la elipse.
Se llaman diametrales las rectas que pasan por el centro de la elipse ydiámetros las cuerdas que contienen al centro. Por ser el centro de la elipse y diámetros las cuerdas que contienen al centro. Por ser el centro de la elipse un punto interior a ella, todas las diametrales son secante y, por ser el centro un centro de simetría, todo diámetro es el duplo de cada uno de los radios que contiene. Los diámetros máximos y mínimo situado sobre el eje focal y el ejesecundario, respectivamente, se llaman diámetros principales de la elipse.

s
s





y
y
D
D
E
E
S
S

B
B
P
P



A
A

X
X
O
O

C
C
F
F


Ejemplos: s y s´ son secantes,AB,CD y EF cuerdas, OX, OY, PP´ son diametrales y AA´, BB´,PP´ son diámetros de la elipse representada en la figura, siendo AA´ y BB´ los diámetros principales de la misma.
119. Teorema.-los puntos medios de todas las cuerdas de una elipse, paralelas a una dada, pertenecen a una diametral.
En símbolos: si M, M´, M´´…. son los puntos medios de las cuerdas AB // A´B´//A´´B´´…. Respectivamente, M, M´, M´´….Pertenecen a la bimestral TT´.
En efecto: Si (x1; y1) y (x2; y2) son las coordenadas de los extremos A y B de una cuerda, la abscisa de su punto medio M es (n° 16)...
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