Levitador

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Levitador Electromagnético
Liana Amaya Moreno Tomás Olarte Hernández Juan Pablo Tamayo Holguín

Objetivo General
Diseñar, implementar y analizar el sistema de control de un levitador magnético utilizando los conceptos y herramientas estudiados en el curso

Objetivo Específicos
Describir el sistema físico. Modelar matemáticamente el levitador electromgnético. Implementar el sistema físicoen MATLAB. Linealizar el modelo. Obtener la matriz de funciones de transferencia. Analizar el sistema. Diseñar un controlador PID, simular y analizar los resultados.

Descripción del sistema

Electroimán Sensor Sistema control y actuador
Figura 1 Esquema del Levitador

Modelo matemático
Supuestos:
Fuerzas verticales únicamente. Inductancia de la esfera despreciable. Relación inversacon el cuadrado de la distancia

Figura 2 Diagrama de fuerzas

Modelo matemático
Circuito del electroimán

vE (t ) = vR (t ) + vL (t )
di (t ) vE (t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅ dt

(1)

(2)

Modelo matemático
Sistema Esfera-Electroimán

∑F

EXT

ɺ = mg − kx − Fm ( x, t ) = m ⋅ ɺɺ x
i 2 (t ) dL( x) Fm ( x, t ) = − ⋅ 2 dx
L( x) = L + L0 X 0 x

(4)

(6)

d 2 x(t ) L0 X 0 i 2 (t) = mg − ⋅ 2 m 2 dt 2 x (t )

(7)

Implementación
Variables de estado
Posición x1 = x(t ) ɺ Velocidad x2 = x (t ) Corriente x3 = i (t )

Entrada Voltaje u = vE (t ) Salida Posición y1 = x Corriente y 2 = x

   x = x(t ) = x  ɺ ɺ 2   1 2   ɺ =  x = g − C ⋅ x3  ɺ2 X m x12    R u ɺ  x3 = − x3 +  L L 

 y1 = x1  Y= y = x   3  2

Modelo en Simulink

Figura 3Modelo del Levitador

Modelo en Simulink

Figura 4 Modelo del sistema completo

Linealización
Alrededor de un punto de operación:

 C ⋅ x3 , con x1 , x3 ≥ 0  x10 = mg    x20 = 0   x3 = u0  0 R 

Con lo cual :

 0.021    X 0 =  0  ∧ u 0 = u0 = R ⋅ x3 = 22.165 V  0.806   
R = 27.5 Ω g = 9.7811 m/s 2

Parámetros: m = 3.61 gr
L = 162 mH

C = 2.397 x 10-5 Nm 2 /A 2

Linealización
ɺ ɺ ɺ = ∂X ∆X + ∂X ∆u Sistema linealizado: ∆X ∂X 0 ∂u 0
  0  ɺ  C x2 ∂X 3 = 2 ∂X m x13    0      1 0 0  ɺ C x3  ∂X   0 −2 ∧ = 0 m x12  ∂u    1   R  L 0 −  L 

donde

El nuevo sistema, sería:
1 0  0  ɺ ∂X   A= =  931.53 0 −24.2707  ∂X 0   0 −169.753   0

ɺ ∆X = A ∆X + B ∆u
 0 . 021    X 0 =  0  u 0 = 22 . 165  0 . 806  

;

 0  ɺ ∂X   B= = 0  ∂u 0    6.1728 

;

;

Matriz de funciones de Transferencia
Ecuaciones dinámicas:
0 1 0    0.021      ɺ =  − 931.5 3 0 − 24.2707  ⋅ X +  0  ⋅ u X   0.806  0 0 − 169.753      1 0 0  0 Y=  0 0 1 ⋅ X +  0 ⋅u       

(11)

MDT(s) = C(sI-A)-1B + D donde D = (0,0)T

Matriz de funciones de Transferencia
Parael caso continuo:
− 149 . 8 #1 : 3 s + 169 . 8 s 2 − 931 . 5 s − 1 . 581 × 10 5 #2 : 6.173 s + 169.8
(12)

Para el caso discreto tomando período de muestreo 0.001seg:
− 2.395 × 10 −8 z 2 − 9.186 × 10 −8 z − 2.2 × 10 −8 #1 : z 3 − 2.845 z 2 + 2.689 z − 0.8439
#2 : 0.005677 z − 0.8439
(13)

Ecuaciones de Estado Discretas
A partir del sistema (11),
X ( K +1)T = Φ (T ) X ( KT ) + Γ(T ) u (KT )
 2.845 − 1.344 0.4219   = 2 0 0   0 1 0   

Φ (T )

Γ(T )

 2.4 × 10 −4    = 0    0  

(14)

Análisis del Sistema
Estabilidad. Sistema Continuo Según los polinomios característicos
P ( s) = s3 + 169.8 s 2 - 931.5 s - 1.581×105 1
P2 ( s) = s + 169.8

Método Routh-Hurwitz

s3 s2 s1 s0

1 169.8 4.5568 -158100

-931.5 -1.581x105

Análisis del SistemaFigura 5 Método Lugar de las raíces (sistema continuo)

Análisis del Sistema
Estabilidad. Sistema Discreto Según los polinomios característicos z
P ( z ) = z - 2.845 z + 2.689 z - 0.8439 1
3 2

Método de Jury
0

z1

z2

z3

-0.8439 1 -0.2879 -0.2879 2.2x10-16 -2.2x10-16 0 0

2.689 -2.845 0.5760 0.5760 -2.2x10-16 2.2x10-16

-2.845 2.689 -0.2879 -0.2879

1 -0.8439

P2...
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