Ley de gauss
Páginas: 6 (1378 palabras)
Publicado: 26 de enero de 2011
Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
Félix Borotto y Joaquín Díaz de Valdés Departamento de Física, Universidad de Concepción
En la mayoría de los programas de ingeniería, los estudiantes deben cursar electromagnetismo, donde se les presenta un espectro amplio de dificultades, que van desde haber olvidado las herramientas del cálculo diferencialhasta no entender las leyes que se enseñan en el curso, a pesar que la mayoría de estas son relativamente simples. Todo esto lleva a que ambos, estudiante y profesor, deben realizar un mayor esfuerzo. Por una parte el profesor debe empezar el curso con un breve resumen de cálculo y el estudiante debe comenzar a integrar herramientas matemáticas y nuevos conceptos físicos. El objetivo de esteartículo es ayudar a los estudiantes a entender la ley de Gauss. Por otra parte para mostrar a los profesores los puntos donde los alumnos presentan dificultades, de esta forma poder desarrollar una metodología o estrategia con el fin de mejorar el aprendizaje, en relación a esta ley. Para esto mostraremos dos ejemplos clásicos, uno para un plano muy extenso uniformemente cargado y el otro para unaesfera con una distribución de carga. Ley de Gauss El flujo de campo eléctrico neto sobre una superficie cerrada arbitraria es directamente proporcional a la carga neta encerrada, matemáticamente se expresa como: r r q E ⋅ dS = , ∫
ε0
donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío. A está relación se le conoce como ley de Gauss por ser equivalente a la ley de Coulomb. La superficie cerrada esllamada gaussiana. Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". La ley de Gauss es una relación fundamental que conecta el medio, las cargas eléctricas y el flujo de campo eléctrico. Puede ser aplicada para obtener el módulo del campo eléctrico sólocuando existe un alto grado de simetría de los cuerpos cargados, como en el caso de una esfera, cilindro muy largo, alambres muy largos y planos extensos uniformemente cargados. A continuación mostraremos dos ejemplos detallados del uso de la ley de Gauss:
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Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
Ejemplo 1 En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana infinitasin grosor, cargada con una densidad uniforme de carga σ, como muestra la figura.
Para una placa infinita cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección y sentido del campo eléctrico. La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y haciala placa si la carga es negativa. 2.-Elegir una superficie cerrada y apropiada para calcular el flujo, es decir, una superficie sobre la cual la magnitud del campo sea constante o que la contribución al flujo sea nula. Tomamos como superficie gaussiana, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El cilindro se compone de 2 tapas y el manto o superficie lateral,cada tapa está a la misma distancia del plano cargado. Debido a la simetría, el campo eléctrico debe tener el mismo módulo sobre cada elemento que componen las tapas. El flujo a través de las bases del cilindro es fácil de calcular ya que el campo y el vector superficie son paralelos. Además, el flujo a través del manto del cilindro es cero, ya que el campo E es perpendicular al vector superficie dS.88
Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
∫ E ⋅ dS = ∫
r r E ⋅ dS = ∫
r
r
r r E ⋅ dS1 +
E ⋅ dS1 +
Tapa1
Tapa 2
∫
r r E ⋅ dS 2 +
Manto
∫
r r E ⋅ dS
Tapa1
∫
Tapa 2
∫
E ⋅ dS 2 + 0 = 2 ES
Luego el flujo total es 2E S 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga (en la figura de color rojo) en...
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
Félix Borotto y Joaquín Díaz de Valdés Departamento de Física, Universidad de Concepción
En la mayoría de los programas de ingeniería, los estudiantes deben cursar electromagnetismo, donde se les presenta un espectro amplio de dificultades, que van desde haber olvidado las herramientas del cálculo diferencialhasta no entender las leyes que se enseñan en el curso, a pesar que la mayoría de estas son relativamente simples. Todo esto lleva a que ambos, estudiante y profesor, deben realizar un mayor esfuerzo. Por una parte el profesor debe empezar el curso con un breve resumen de cálculo y el estudiante debe comenzar a integrar herramientas matemáticas y nuevos conceptos físicos. El objetivo de esteartículo es ayudar a los estudiantes a entender la ley de Gauss. Por otra parte para mostrar a los profesores los puntos donde los alumnos presentan dificultades, de esta forma poder desarrollar una metodología o estrategia con el fin de mejorar el aprendizaje, en relación a esta ley. Para esto mostraremos dos ejemplos clásicos, uno para un plano muy extenso uniformemente cargado y el otro para unaesfera con una distribución de carga. Ley de Gauss El flujo de campo eléctrico neto sobre una superficie cerrada arbitraria es directamente proporcional a la carga neta encerrada, matemáticamente se expresa como: r r q E ⋅ dS = , ∫
ε0
donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío. A está relación se le conoce como ley de Gauss por ser equivalente a la ley de Coulomb. La superficie cerrada esllamada gaussiana. Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". La ley de Gauss es una relación fundamental que conecta el medio, las cargas eléctricas y el flujo de campo eléctrico. Puede ser aplicada para obtener el módulo del campo eléctrico sólocuando existe un alto grado de simetría de los cuerpos cargados, como en el caso de una esfera, cilindro muy largo, alambres muy largos y planos extensos uniformemente cargados. A continuación mostraremos dos ejemplos detallados del uso de la ley de Gauss:
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Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
Ejemplo 1 En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana infinitasin grosor, cargada con una densidad uniforme de carga σ, como muestra la figura.
Para una placa infinita cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección y sentido del campo eléctrico. La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y haciala placa si la carga es negativa. 2.-Elegir una superficie cerrada y apropiada para calcular el flujo, es decir, una superficie sobre la cual la magnitud del campo sea constante o que la contribución al flujo sea nula. Tomamos como superficie gaussiana, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El cilindro se compone de 2 tapas y el manto o superficie lateral,cada tapa está a la misma distancia del plano cargado. Debido a la simetría, el campo eléctrico debe tener el mismo módulo sobre cada elemento que componen las tapas. El flujo a través de las bases del cilindro es fácil de calcular ya que el campo y el vector superficie son paralelos. Además, el flujo a través del manto del cilindro es cero, ya que el campo E es perpendicular al vector superficie dS.88
Ciencia…Ahora, nº 23, año 12, enero a junio 2009.
∫ E ⋅ dS = ∫
r r E ⋅ dS = ∫
r
r
r r E ⋅ dS1 +
E ⋅ dS1 +
Tapa1
Tapa 2
∫
r r E ⋅ dS 2 +
Manto
∫
r r E ⋅ dS
Tapa1
∫
Tapa 2
∫
E ⋅ dS 2 + 0 = 2 ES
Luego el flujo total es 2E S 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga (en la figura de color rojo) en...
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