Ley de gauss
Páginas: 8 (1764 palabras)
Publicado: 21 de noviembre de 2011
Ley de Gauss
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita. La figura izquierda muestra una superficie de forma arbitraria que incluye undipolo. El número de líneas que salen de la carga es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo recinto y terminan en la carga negativa. Si contamos el número que sale como positivo y el número que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como ocurre en la figura derecha, el número neto de líneas que sale por cualquiersuperficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss. La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición general es :
Φ =
∫ E⋅ dA
→
→
Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo delcampo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por
Φ neto =
∫ E ⋅ dA
→
→
La figura muestra una superficie esférica de radio R con su centro en la carga puntual Q. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene la magnitud
E=
kQ r2
→
El flujo neto a través de esta superficie esférica es
Φ neto→ → = ∫ E⋅ dA = E// dA = ∫ EdA = E ∫ dA = EA
→
en donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 4πR2 . Sustituyendo
E=
kQ R2
y
A = 4πR 2
se obtiene
Φ neto =
kQ 4πR 2 = 4 kπQ R2
Idéntico resultado hubiéramos obtenido si la superficie fuese irregular.Si se trata de sistemas de más de una carga puntual como en la figura, el flujo neto a través de la superficie cerrada señalada es igual a
Φ neto = 4 kπ(q1 + q 2 )
Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de la permitividad del vacío:
k=
1 4 πεo Φ neto = Q dentro εo
de modo que la ley de Gauss se escribe
Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss
Enalgunas distribuciones de carga altamente simétricas, tales como una esfera uniformemente cargada o una línea infinita de carga, es posible determinar una superficie matemática que por simetría posee un campo eléctrico constante perpendicular a la superficie. A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo eléctrico a través de esta superficie y utilizar la ley de Gauss para relacionar el campoeléctrico con la carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana. En esta sección utilizaremos dicho método para calcular el campo eléctrico producido por diferentes distribuciones simétricas de carga. Campo eléctrico E próximo a una carga puntual • superficie gaussiana, elegimos una superficieesférica de radio r centrada en la carga. • E es radial y su magnitud depende sólo de la distancia a la carga. • E tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esférica. El flujo neto a través de esta superficie es, pues,
Φ neto = ∫ E⋅ dA = ∫ EdA = E ∫ dA = EA = E 4πr 2
Pero la ley de Gauss nos da
→
→
Φ neto =
Q dentro εo E= 1 Q 4πεo r 2
Igualando obtenemos
Campoeléctrico E próximo a un plano infinito de carga Densidad de carga uniforme σ Por simetría el campo eléctrico debe: • ser perpendicular al plano. • depender sólo de la distancia z del plano al punto del campo. • tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano Escogemos como superficie gaussiana un cilindro en forma de...
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita. La figura izquierda muestra una superficie de forma arbitraria que incluye undipolo. El número de líneas que salen de la carga es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo recinto y terminan en la carga negativa. Si contamos el número que sale como positivo y el número que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como ocurre en la figura derecha, el número neto de líneas que sale por cualquiersuperficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss. La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición general es :
Φ =
∫ E⋅ dA
→
→
Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo delcampo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por
Φ neto =
∫ E ⋅ dA
→
→
La figura muestra una superficie esférica de radio R con su centro en la carga puntual Q. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene la magnitud
E=
kQ r2
→
El flujo neto a través de esta superficie esférica es
Φ neto→ → = ∫ E⋅ dA = E// dA = ∫ EdA = E ∫ dA = EA
→
en donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 4πR2 . Sustituyendo
E=
kQ R2
y
A = 4πR 2
se obtiene
Φ neto =
kQ 4πR 2 = 4 kπQ R2
Idéntico resultado hubiéramos obtenido si la superficie fuese irregular.Si se trata de sistemas de más de una carga puntual como en la figura, el flujo neto a través de la superficie cerrada señalada es igual a
Φ neto = 4 kπ(q1 + q 2 )
Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de la permitividad del vacío:
k=
1 4 πεo Φ neto = Q dentro εo
de modo que la ley de Gauss se escribe
Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss
Enalgunas distribuciones de carga altamente simétricas, tales como una esfera uniformemente cargada o una línea infinita de carga, es posible determinar una superficie matemática que por simetría posee un campo eléctrico constante perpendicular a la superficie. A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo eléctrico a través de esta superficie y utilizar la ley de Gauss para relacionar el campoeléctrico con la carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana. En esta sección utilizaremos dicho método para calcular el campo eléctrico producido por diferentes distribuciones simétricas de carga. Campo eléctrico E próximo a una carga puntual • superficie gaussiana, elegimos una superficieesférica de radio r centrada en la carga. • E es radial y su magnitud depende sólo de la distancia a la carga. • E tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esférica. El flujo neto a través de esta superficie es, pues,
Φ neto = ∫ E⋅ dA = ∫ EdA = E ∫ dA = EA = E 4πr 2
Pero la ley de Gauss nos da
→
→
Φ neto =
Q dentro εo E= 1 Q 4πεo r 2
Igualando obtenemos
Campoeléctrico E próximo a un plano infinito de carga Densidad de carga uniforme σ Por simetría el campo eléctrico debe: • ser perpendicular al plano. • depender sólo de la distancia z del plano al punto del campo. • tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano Escogemos como superficie gaussiana un cilindro en forma de...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.