Ley De Gauss

Ley de Gauss (primera Ecuación de Maxwell)

n
S
La ley de Gauss o también llamada Primera ecuación de Maxwell principalmente se usa para determinar campos electrostáticos, aprovechando la simetría de las diferentes geometrías de los diferentes medios para el cálculo de problemas que involucren a los campos ya mencionados.

La ley de Gauss en realidades una consecuencia del parámetro físico llamado Flujo Eléctrico , que se fundamenta en la continuidad de la función campo electrostático a través de una superficie S integrable; (superficie generada por una función continua de dos variables), que se muestra en la figura adjunta o sea que dicha función es derivable parcialmente con respecto a cada una de las variables; de tal forma que esposible encontrar una función vectorial cuya magnitud sea la unidad; quedando:
; LG-1
siendo una función vectorial con magnitud igual a la unidad, normal exterior a la superficie S, generada por la función (u,v) y como es una función vectorial continua para todo punto de lasuperficie S; de tal forma que si es la i-ésima partición de la superficie S, entonces es un vector variable normal exterior al elemento de área por lo que deben existir los productos punto:
; para todo i=1,2,3,…,N; con N el número de particiones de la superficie S. Además los productos punto son cantidades escalares por lo que existe la sumatoria de dichos productos punto, quedando:
+…+ =LG-2
Note que en esta sumatoria los elementos de área pueden ser muy pequeños ya que la superficie es generada por una función vectorial continua; pero para que esto suceda el número de particiones debe ser muy grande, o sea que existe:
= = LG-3
Por definición a esta cantidad escalar así formulada se lellama flujo eléctrico y normalmente se representa con el símbolo ; remarcando que indica cualquier punto de la superficie S; además observe que las unidades de este parámetro físico son (N-m2 )/C.
Note que este parámetro físico depende del producto punto de la función y la función que es normal exterior en todo punto de la superficie S; por lo que puede ocurrir que si es paralelo a elflujo es máximo o sea que sí la superficie es un plano y es perpendicular al plano el flujo es máximo en tal caso sí se representa gráficamente el campo eléctrico por segmentos dirigidos (líneas de campo) todas las líneas de campo cruzan la superficie S; caso contrario si el campo eléctrico es paralelo a la superficie S las líneas de campo no cruzan la superficie S y el flujo eléctrico es cero yaque el producto punto es cero.

Otra observación importante es que la superficie S es arbitraria en su forma, por lo que S puede ser una superficie cerrada, en tal caso el flujo eléctrico queda representado como:
= LG-4
Recuerde que una integral sobre una superficie involucra una doble integracióny que puede resolverse en cualquier tipo de coordenadas según sea la Geometría del problema.

Ejemplo.1.- Hallar el flujo eléctrico producido por una carga puntual Q+ colocada en origen del sistema de referencia, a través de la superficie esférica de radio R: considerando el problema en el vacío.

RESPUESTA:
Recuerde que el campo electrostático generado por una carga puntual Q colocada en unpunto P es:
; aclarando que indica la posición de la carga Q; pero en el caso del problema aquí planteado Q está en el origen por lo que y ; remarcando que R es el radio de la superficie esférica y es una función vectorial normal exterior a la superficie para cualquier punto de la misma cuya magnitud es la unidad; quedando:
; con esta función así determinada y aplicando la igualdad LG-3...