Ley de gauus

Caso general

Campo eléctrico producido por un elemento dL de una distribución lineal uniforme de carga.
Si se dispone de una distribución lineal continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas.La magnitud de d E está dada por:

El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,

Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad lineal de carga , entonces .
Por lo tanto,

Campo eléctrico generado por una línea infinita de carga y densidad lineal de carga λconstante

Campo eléctrico creado por un elemento dx de una línea infinita de carga.
La figura muestra una porción de una línea infinita de carga de densidad lineal de carga uniforme .
La magnitud de la contribución de campo eléctrico sobre el punto P debida al elemento de carga está dada por:
(1)
El vector tiene las componentes:
y
El signo menos delante de indica que apunta en ladirección negativa de las x.
Por tanto, las componentes x e y de en el punto P, están dadas por:

y

En estas expresiones debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda de la perpendicular que une P con la línea de carga tiene un elemento correspondiente a la derecha, de modo que sus contribuciones al campo en la dirección de las x se anulan mutuamente. Así pues, apunta exactamente en ladirección de las y. Como las contribuciones a de la mitad derecha y de la mitad izquierda de la línea de carga son iguales, se puede escribir:

sustituyendo la expresión (1) en esta ecuación, se tiene:
(2)
Siendo , se tiene , diferenciando esta expresión resulta: y sustituyendo en (2) se obtiene:
   (3)
Si se tiene en cuenta que: ,        y    ,     se puede establecer que:

Sustituyendo enla expresión (3) se obtiene

Obsérvese que cuando , y cuando , , por lo tanto:

Por lo tanto:
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] Campo eléctrico generado por una línea finita de carga y densidad lineal de carga λ constante sobre los puntos de su bisectriz
Considérese una varilla delgada no conductora de longitud finita l con una carga total q distribuida uniformemente a lo largo de ella, tal como se muestra en lafigura.

Campo eléctrico creado por un elemento dx de una línea de carga de longitud l.
La magnitud de la contribución de campo eléctrico sobre el punto P debida al elemento de carga está dada por:
(1)
El vector tiene las componentes:
y
El signo menos delante de indica que apunta en la dirección negativa de las x.
Por tanto, las componentes x e y de en el punto P, están dadas por:

y

Enestas expresiones debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda de la perpendicular que une P con la línea de carga tiene un elemento correspondiente a la derecha, de modo que sus contribuciones al campo en la dirección de las x se anulan mutuamente. Así pues, apunta exactamente en la dirección de las y. Como las contribuciones a de la mitad derecha y de la mitad izquierda de la líneade carga son iguales, se puede escribir:

sustituyendo la expresión (1) en esta ecuación, se tiene:
(2)
Siendo sustituyendo en (2) se obtiene

En consecuencia
Teniendo en cuenta que y haciendo las sustituciones correspondientes, se obtiene:
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[editar] Campo eléctrico generado por dos hilos paralelos, infinitos y de densidad de carga uniforme

] Campo eléctrico en un punto B exteriorEl campo eléctrico en el exterior de los hilos es la suma de los campos eléctricos que generan ambos, como apuntan en sentido opuesto, se restan
Sea el campo debido al hilo cargado positivamente y el generado por el hilo con carga negativa. Se tiene, entonces:

Operando, la expresión anterior se reduce a:
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campo eléctrico en un punto A entre los hilos
El campo eléctrico entre los...