ley de los Grandes numeros

Cap´
ıtulo 2

Ley de los n´meros grandes
u
2.1.

La ley d´bil de los n´ meros grandes
e
u

Los juegos de azar, basan su sistema de ganancias, fundamentalmente en la estabilidad a
largo plazo garantizada por las leyes de la probabilidad. Consideremos el juego de la ruleta
americana. Esta consiste en una rueda en posici´n horizontal, por donde puede circular una
o
peque˜a bola. Larueda est´ subdividida en 38 zonas enumeradas, cada una de las cuales
n
a
subtiende un ´ngulo de la misma magnitud. Al estabilizarse el movimiento de la bola, ´sta
a
e
permanece quieta en una de las zona. En un juego t´
ıpico, el jugador paga 1 d´lar por apostar
o
la salida de uno de los 38 n´meros. En caso de ganar, se le devuelve el d´lar m´s 35 d´lares
u
o
a
o
adicionales. En casode perder, pierde un d´lar. Suponiendo que la probabilidad de salida de
o
los n´meros es uniforme, el valor esperado de la ganancia X del jugador ser´
u
ıa
1
37
+ 35 ×
= −0,05263
38
38
Podr´
ıamos preguntarnos que importancia tiene este c´lculo. La ley de los n´meros grandes,
a
u
descubierta por Jacob Bernoulli en el siglo 18 nos da la respuesta.
E(X) = −1 ×

Teorema 2.1. (Leyd´bil de los n´ meros grandes: versi´n con momentos de orden 2).
e
u
o
Consideremos una sucesi´n {Xn : n ≥ 1} de variables aleatorias i.i.d. de cuadrado integrable.
o
Luego, para todo ǫ > 0 se tiene
l´ P
ım

n→∞

n
k=1 Xk

n

− E(X) ≥ ǫ

= 0.

El adjetivo d´bil ha sido introducido para distinguir este resultado de la llamada ley fuerte
e
de los n´ meros grandes, que estableceque en realidad la convergencia del promedio emp´
u
ırico
a la esperanza es casi segura. En t´rminos del juego de la ruleta americana, la ley de los n´meros
e
u
grandes nos indica que el valor promedio de la ganancia de la casa de apuestas por jugador tiende
a −E(X) = 0,05263, y por lo tanto es positivo. Es decir, aunque de vez en cuando aparecer´n
a
jugadores afortunados que ganar´n 35d´lares, la ley de los n´meros grandes establece siempre
a
o
u
existir´ una cantidad suficientemente grande de apuestas a partir de las cuales el balance para
a
la casa es favorable.
La demostraci´n de la ley d´bil de los n´meros grandes es sencilla, y se basa en la siguiente
o
e
u
observaci´n.
o
Lema 2.2. Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias centradas no correlacionadas de a pares.Luego
29

´
CAP´
ITULO 2. LEY DE LOS NUMEROS GRANDES

30

V ar(X1 + · · · + Xn ) = V ar(X1 ) + · · · + V ar(Xn ).
´
Demostracion. (Prueba de la ley d´bil de los n´ meros grandes). Sea ǫ > 0. Por la
e
u
desigualdad de Tchebytschev y el lema anterior
1 V ar(X1 )
¯
¯
.
P (|X1 + · · · + Xn |/n > ǫ) ≤ 2
ǫ
n
Claramente el miembro izquierdo tiende a 0 cuando n tiende a ∞.
La leyd´bil de los n´meros grandes sigue siendo v´lida si suponemos s´lo que la sucesi´n
e
u
a
o
o
de variables aleatorias es integrable. Veremos este resultado como un caso particular de la ley
fuerte de los n´meros grandes. Por otra parte, una variaci´n del Lemma 2.2, demostrada por
u
o
Bengt von Bahr y Carl-Gustav Esseen, permite f´cilmente generalizar el Teorema 2.6.
a
Lema 2.3.(Desigualdad de von Bahr-Esseen). Sea {Xn : n ≥ 1} una sucesi´n de variables
o
aleatorias independientes y centradas. Luego para todo 1 ≤ r ≤ 2 se tiene que
r

n

E

Xk
k=1

n

E(|Xk |r ).

≤4

(2.1)

k=1

Observaci´n. Este resultado fue publicado en 1965 en The Annals of Statistics. El 4 que
o
aparece en el lado derecho de (2.1) se puede mejorar por un 2.
El primer paso para probarla desigualdad de von Bahr-Esseen, es el siguiente resultado de
Clarkson de 1936, introducido para el estudio de espacios uniformemente convexos.
Lema 2.4. (Desigualdad de Clarkson). Si 1 ≤ r ≤ 2, entonces para todo par de reales x e
y se tiene que
|x + y|r + |x − y|r ≤ 2(|x|r + |y|r ).
´
Demostracion. La desigualdad es trivialmente cierta para y = 0 o para r = 1. Luego, como
ambos...