La ley de los grandes numeros

LA LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.
Establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número (la probabilidad), cuando el experimento se realiza muchas veces. Describe el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conformeaumenta su número de ensayos. Garantiza que dicho promedio converge al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y elvalor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.
La "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos enla serie.

Dentro de la ley de los grandes números podemos encontrar la Ley Débil y la Ley Fuerte.


‍La Ley Débil: esta ley asegura que en muchas situaciones, la media aritmética de n variables aleatorias se aproxima a un límite de la probabilidad de E[X].


‍Esta ley se cumple si en una sucesión de variables aleatorias (Xn), {Xn - E[Xn]} se aproxima al límite de probabilidad 0.‍La Ley Fuerte: establece la convergencia con probabilidad 1



Historia
Se dice que el primer acercamiento a esta gran ley lo obtuvo Jacob Bernoulli ya que el descubrió en sus experimentos que las frecuencias observadas se acercaban al verdadero valor previo de su probabilidad al hacer crecer el número de repeticiones del experimento. Sin embargo él quería encontrar una pruebacientífica que no sólo probara que al aumentar el número de observaciones de la muestra se podía estimar la probabilidad auténtica, sino que permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones eran necesarias para garantizar esa precisión.
Su experimento consiste en repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito un número grande de veces, se le conoce como “experimento de Bernoulli”. Elpropuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000 negras, lo que quería era determinar la proporción entre bolas blancas y negras, sacando una de cada vez, anotando el resultado (éxito si es blanca y fracaso si es negra) y volviéndola a introducir en la urna. Determinando a N como el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cadaprueba, siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras.
El teorema de Bernoulli afirma que dada cualquier pequeña fracción ε y dado cualquier número entero positivo grande c, se puede hallar un número N = N(c) tal que la probabilidad de que X/N difiera de p no más de ε es mayor que c veces la probabilidad de que X/N difiera de p más de ε.
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Bernoulli tomó como ejemplo para elproblema una c=1.000 y obtuvo como resultado que eran necesarias 25.550 observaciones. Sin embargo el sabía que no necesitaba tantas observaciones e intento de nuevo su experimento pero con varios valores de c, pero de igual forma no llego a un resultado que lo convenciera.
Retomando los estudios de su tío, Niklaus Bernoulli(1687–1759), aplico ese resultado a registros de 14.000 nacimientos y llegóa la conclusión de que la frecuencia de nacimientos de niños es mayor que la de niñas, en la proporción de 18:17. Los resultados tanto de Bernoulli como de su sobrino fueron confirmados años después por Laplace.
De esta manera, se introdujo en la teoría de la probabilidad la ley de los Grandes Números, uno de los conceptos más importantes en cálculo de probabilidades, muestreos, etc.

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