Ley De Los Grandes Numeros

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.
Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entrela suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.
La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurraal menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos
converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo ε se tiene

La ley delos grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.
Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso "salir cara al lanzar una moneda".

Al aumentar los lanzamientos, lasfrecuencias relativas se aproximan a un valor 0'5. Ésa es la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.
La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.  |
Sigue adelante y lo podrás comprobar...

La ley de los Grandes Números:
Jacob Bernoulli descubrió que las frecuencias observadas seacercaban al verdadero valor previo de su probabilidad al hacer crecer el número de repeticiones del experimento. Pero él quería encontrar una prueba científica que no sólo probara que al aumentar el número de observaciones de la muestra se podía estimar la probabilidad
auténtica con el grado de precisión deseado en cada ocasión, sino que permitiera calcular explícitamente cuántas observacioneseran necesarias para garantizar esa precisión de que el resultado queda dentro de un intervalo predeterminado alrededor de la verdadera solución.
El experimento que consiste repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito un número grande de veces recibió el nombre de “experimento de Bernoulli” y, más adelante, tras la creación del concepto de variable aleatoria, la variable que contabilizael número de éxitos en N pruebas se llamó ‘Bernoulli’ o ‘binomial’.
Bernoulli era consciente de que, en situaciones reales y cotidianas, la certeza absoluta, es decir, la probabilidad 1, es imposible de alcanzar. Por eso introdujo la idea de la “certeza moral”: para que un resultado fuese moralmente cierto, debía tener una probabilidad no menor que 0.999, mientras que un resultado conprobabilidad no mayor que 0.001 se consideraría “moralmente imposible”. Fue para determinar la certeza moral de un suceso para lo que Bernoulli formuló su teorema, la ley de los Grandes Números.
Para tener una idea intuitiva de este concepto, Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000 negras, aunque el observador no lo sabe, pues lo que quiere es determinar laproporción entre bolas blancas y negras, sacando una de cada vez, anotando el resultado (éxito si es blanca y fracaso si es negra) y volviéndola a introducir en la urna. Sea N el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cada prueba, siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras. El teorema de Bernoulli afirma que dada cualquier pequeña...