Ley De Newwton

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Aplicaciones de Ecuaciones Separables

Hay algunos de fenómenos cuyo comportamiento puede ser descrito utilizando una ecuación diferencial separable. Los que a continuación se presentan son algunos de ellos.

1.1
1.1.1

Crecimiento y Decrecimiento
Modelos de Población

Si consideramos que la rapidez de crecimiento de una población de individuos es proporcional a la cantidad deindividuos presentes en un instante determinado, podremos modelar dicho comportamiento de la población a través del problema de valor inicial dP (t) = kP (t) P (t0 ) = p0 dt donde P (t) Representa la población en determinado tiempo. k Constante de Proporcionalidad t0 Tiempo Inicial (inicio del estudio) p0 Población inicial (población al inicio del estudio) Claramente la ED es separable por lo quepodemos Z dP P ln P P (t) encontrar una solución a este problema Z = kdt = kt + c = cekt

que es la solución general de la ED; aplicando las condiciones iniciales P (t0 ) = p0 cekt0 = p0 p0 c = ekt0 en especial si t0 = 0 entonces c = p0 , de aquí que la solución particular el problema de valor inicial se pueda expresar como P (t) = Cekt donde C = p0 es la población inicial, es decir si t0 = 0.Ejemplo 1 Un cultivo bacterioano tiene una cantidad de 200 individuos inicialmente. Después de t = 1 hr. la cantidad de bacterias creció habiendo 3 de la población inicial. Si el crecimiento bacteriano responde a un modelo de 2 crecimiento proporcional, ¿cuánto tiempo tardará la población en triplicarse? Solución 2 Como el crecimiento de la población bacteriana responde a un modelo proporcionalentonces ½ dP P (0) = 200 = kP P (1) = 300 dt Resolviendo la ED como separable Z Z dP = kdt P ln (P ) = kt + C P (t) = Cekt

1

Aplicando condiciones iniciales P (0) 200 P (1) 300 k = = = = 200 C 300 200ek(1) 3 = ln 2 = 0.40547

Por lo que el comportamiento de nuestra población está determinado por la ED
1400 1200 1000 P(t) 800 600 400 200

P (t) = 200e0.41t

-1

0

1

2

t

3

45

Para saber en cuanto tiempo se triplicará tenemos que resolver P (t) = 600 200e0.41t = 600 t = 2.6795 Ejemplo 3 La población de una pequeña ciudad crece de manera proporcional a la cantidad de individuos en ella en un instante cualquiera. Si al comenzar un registro poblacional la ciudad tenía 2, 500 habitantes y en 10 años aumente 17%. ¿Cuál será la población dentro de 30 años? Solución 4Como el crecimiento de la población responde a un modelo proporcional entonces ½ dP P (0) = 2500 = kP P (10) = 2925 dt Resolviendo la ED como separable Z Z dP = kdt P ln (P ) = kt + C P (t) = Cekt

aplicando condiciones iniciales P (0) C P (10) 2925 k = = = = 2500 2500 2925 2500ek(10) 117 1 ln = 10 100 = 0.0157 2

Por lo que el comportamiento de nuestra población está determinado por la4200 4000 3800 3600 3400 3200 3000 2800 2600

P (t) = 2500e0.0157t Para saber cuantos habitantes habrá después de 30 años

0

5

10

15

t

20

25

30

35

P (30) = 2500e0.0157(30) = 4004

1.1.2

Desintegración Radiactiva

Se puede utilizar el mismo modelo de crecimiento (decrecimiento) para modelar el comportamiento de la desintegración radiactiva ya que se ha observadoque la velocidad de descomposición o transmutación de cierto material radiactivo A es proporcional a la cantidad de dicho elemento en un tiempo determinado dA (t) = kA (t) dt donde A (t) k t0 A0 Representa la cantidad del elemento en un tiempo determinado. Constante de Proporcionalidad de Desintegración Tiempo Inicial (inicio del estudio) Cantidad Inicial del Elemento A (t0 ) = A0

Podemosbuscar también una solución general a este problema dA = kA Z dt Z dA = kdt A ln A = kt + c A (t) = Cekt donde aquí C es la cantidad inicial del isótopo de radiactivo. Ahora, en física se llama semivida o vida media a la medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva; esta equivale al tiempo necesario para que se desintegren o transmuten la mitad de los átomos en una cantidad inicial A0 de...