Ley De Senos Y Cosenos

Ley de Senos y Cosenos
Ley de Senos:
La ley de Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los ángulos y lados de los triángulos. Es de suma utilidad cuando se quiere resolver ciertos tipos de problemas con triángulos, especialmente con los triángulos que carecen de ángulos rectos.
“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de losángulos opuestos”.

Donde A, B y C son los lados, y a, b, y c son los ángulos del triángulo.
Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto de su letra mayúscula.

Resolución de triángulos por la ley de los Senos :

Nota: Existen problemas de triángulos que no se pueden resolver con la ley de senos. En algunos casos por los datos dados, sólo la ley de cosenos lo puede resolver.
Si unproblema de triángulos te brinda como datos (2) ángulos y (1) lado, la ley usada es la de los senos. Por el contrario, si te dan (2) lados y el ángulo que hacen esos (2) lados, se usa la ley del coseno.

Problema:
Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.

El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 49 = 43.06 mts
Y c = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 102.3 = 55.75 mts

Ley de Cosenos:La ley de Cosenos permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para llegar a ese resultado te pide que se conozcan los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer. Esta ley, ayuda a resolverciertos problemas con triángulos, como los triángulos que carecen de un ángulo de 90º

“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”

A, B, y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo.
Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto desu letra mayúscula. Esto siempre debe realizarse de esta manera cuando se resuelve un triángulo, de lo contrario el resultado seguramente será erróneo.

La ley del Coseno solo se usa cuando se tienen los (2) lados y el ángulo que forman los lados, de lo contrario se usa la Ley de Senos.

Recuerda que para resolver uno de los ángulos internos del triángulo, la suma de los (3) ángulos dará180º.Entonces:
c = 180º - a – b

Problema:

Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts, b = 19 mts, c=14 mts.
Por la ley de los cosenos tenemos que:
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.

Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados.

Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos paraobtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues :
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.

.- Determine cual es el valor del otro lado dado que
Considerando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ángulo, tenemos:

2.- Considerando la misma figura pero ahora los siguiente datos determine el valor del ángulo.Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:

Sustituyendo los valores dados tenemos:

Ley de senos
* Para resolver el triangulo primera vez tenemos que aplicar la ley del coseno y luego ya que sabemos un angulo podemos aplicar la ley del seno.

❶

Aplicamos ley de coseno para el angulo Aº

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº)

8² = 10² + 12² - 2*10*12 cos(Aº)

64 = 100 + 144 - 240cos(Aº)

cos(Aº) = (100 + 144 - 64) / 240

cos(Aº) = 180 / 240

cos(Aº) = 3/4 = 0.75

Aº = arccos(0.75)
___________
Aº = 41.42º |
___________|

❷

Ahora sabiendo un angulo podemos aplicar la ley del deno para hallar el Bº y el Cº

Ley Seno : a/sen(A) = b / sen(B) = c /sen(C)

a / sen(Aº) = b / sen (Bº)

sen(Bº) = (b/a) sen(Aº)

sen(Bº) = (10/8) sen(41.4º)

sen(Bº) = 1.25 *...