Ley Seno Y Coseno
Páginas: 3 (610 palabras)
Publicado: 11 de julio de 2012
LEYES DE SENOS Y COSENOS Y SU APLICACIÓN A PROBLEMAS DE PLANTEO
Hasta ahora hemos trabajado con triángulos rectángulos, y hemos definido las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.Ahora enunciaremos dos leyes en un triángulo cualquiera. Pero esto no significa que se anula lo anterior estudiado, sino que se llega a estas leyes a través de triángulos rectángulos.
Ley de losSenos: En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
[pic]
Demostración:
Tracemos CD, perpendicular a AB, se obtiene los triángulos rectángulos ADC y BDC,en ellos se tiene:
[pic]=[pic] Λ [pic]=[pic] dividiendo miembro a miembro se tiene:
[pic] → [pic]
Análogamente, trazando las alturas que corresponden a los vértices A y B setiene[pic] y también [pic] con lo que se demuestra lo enunciado, es decir, [pic]
Ejemplo de aplicación: Dos boyas están apartadas por una distancia de 64.2 metros, y un bote está a 74.1 metrosde la más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de 27°18´¿qué distancia hay del bote a la boya más alejada?
Aplicamos el teorema de los senos
[pic]
[pic][pic]
teniendo el valor del ángulo [pic] y como la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°podemos calcular el ángulo [pic] y aplicar de nuevo la ley de los senos para determinar “x”[pic]=180°- 27°18’- 31°58’ →[pic]=120°44’ luego:
[pic] → X=120.3 m
Respuesta:
La distancia del bote a la boya más alejada es 120.3 metros.
Ley de los cosenos: En un triángulocualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos , menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
a2=b2+c2-2bccos[pic]b2=a2+c2-2accos[pic]
c2=a2+b2-2abcos[pic]
Ejemplo: Hallar el mayor ángulo de un triángulo de lados 4cm,7cm,10cm.
De la geometría sabemos que a mayor ángulo se opone mayor lado, por lo...
Hasta ahora hemos trabajado con triángulos rectángulos, y hemos definido las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.Ahora enunciaremos dos leyes en un triángulo cualquiera. Pero esto no significa que se anula lo anterior estudiado, sino que se llega a estas leyes a través de triángulos rectángulos.
Ley de losSenos: En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
[pic]
Demostración:
Tracemos CD, perpendicular a AB, se obtiene los triángulos rectángulos ADC y BDC,en ellos se tiene:
[pic]=[pic] Λ [pic]=[pic] dividiendo miembro a miembro se tiene:
[pic] → [pic]
Análogamente, trazando las alturas que corresponden a los vértices A y B setiene[pic] y también [pic] con lo que se demuestra lo enunciado, es decir, [pic]
Ejemplo de aplicación: Dos boyas están apartadas por una distancia de 64.2 metros, y un bote está a 74.1 metrosde la más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de 27°18´¿qué distancia hay del bote a la boya más alejada?
Aplicamos el teorema de los senos
[pic]
[pic][pic]
teniendo el valor del ángulo [pic] y como la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°podemos calcular el ángulo [pic] y aplicar de nuevo la ley de los senos para determinar “x”[pic]=180°- 27°18’- 31°58’ →[pic]=120°44’ luego:
[pic] → X=120.3 m
Respuesta:
La distancia del bote a la boya más alejada es 120.3 metros.
Ley de los cosenos: En un triángulocualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos , menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
a2=b2+c2-2bccos[pic]b2=a2+c2-2accos[pic]
c2=a2+b2-2abcos[pic]
Ejemplo: Hallar el mayor ángulo de un triángulo de lados 4cm,7cm,10cm.
De la geometría sabemos que a mayor ángulo se opone mayor lado, por lo...
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