Leyes de los senos y cosenos

Ley de senos

Sen = sen β = sen γ
A B C
La ley de los Senos es una relación de tresigualdades que siempre se cumplenentre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolverciertos tipos deproblemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, yα,β yγ (minúsculas)
son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, laα está en el ángulo opuesto de A. Laβ está en el ánguloopuesto de B. Y laγ está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa encontrartodos los datos que te faltan, a partir
de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de loscosenos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y unlado, usa ley de los senos. Si por elcontrario te dan dos lados y el ángulo quehacen esos dos lados, usa la ley del coseno.
Supongamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
Llamemosβ al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;α al ángulo de 43°
y A al lado de 5.
Lo que tenemos entonces es lo siguiente:
A= 5
B=?
C=?
α = 43°
β = 27°
γ=?
El ánguloγ es muy fácil de encontrar, porque la suma delos ángulos internos deun triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de untriángulo, el tercero siempre sale así:
γ = 180° - α– β
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o
apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
γ = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°γ= 110°
Ya tenemos entonces los tres ángulosα,β yγ.
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
Sustituyendo queda:
Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:
Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existeahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como elsen (27°) está dividiendo abajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba):y calculamos ésta expresión:
3.32838 = B
y esto es lo que vale B.
Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero
ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:
(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)
Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado
izquierdomultiplicando arriba):
hacemos lasoperaciones y queda:
6.88925 = C
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado
la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:
o escrito ya sin el término de en medio:
igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado
izquierdomultiplicando arriba):
y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes

Ley de cosenos
C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de untriángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado quequieres conocer.Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemasde triángulos.
La ley del Cosenodice así:
y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,
entonces dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, yα,β yγ (minúsculas)
son los ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ánguloopuesto de B. Y la c...