Leyes Maxwell Fasorial

Ecuaciones de Maxwell en su forma fasorial.
Sabemos que los campos eléctricos y magnéticos cumplen con la ecuación diferencial de onda, esto implica que las ondas de los campos eléctricos y magnéticos tienen la forma f(k∙r-ωt) o en términos des cosenos y senos de la forma cos (k∙r-ωt), sen(k∙r-ωt), donde r=xi+yj+zk es un vector de posición y k=kxi+kyj+kzk es vector de número de onda, entoncesla forma de las ondas eléctricas y magnéticas tienen la forma:
Er;t=E0 cos (k∙r-ωt)
Br;t=B0 cos (k∙r-ωt)
Donde E0 como B0 son las amplitudes vectoriales de las ondas.
Pero existe una representación de las ondas que es más sencilla y que se le conoce como la forma fasorial de las ondas de campo eléctrico y magnético, que son como exponenciales complejas.
Er;t=E0 e-i(k∙r-ωt)
Br;t=B0e-i(k∙r-ωt)
Si tomamos la parte real de las ondas fasoriales se pueden llegar a las expresiones de las ondas en su forma de coseno o seno.
Esta ecuacione se pueden escribir:
Er;t=E0 e-ik∙r+iωt= E0e-ik∙reiωt=E0e-ik∙reiωt
Definiendo Er=E0e-ik∙r=E0 e-ikxx+kyy+kzz tenemos que las ondas campo eléctrico tienen la forma fasorial:
Er;t=Ereiωt
y de forma análoga los campos magnéticos
Br;t=Breiωt
Donde Er;ty Br;t son fasores que contienen información sobre la dirección magnitud y fase. De las misma manera se pueden escribir en su forma fasorial la densidad de corriente eléctrica y la densidad de carga eléctrica Jr;t, ρvr;t.
Jr;t=Jreiωt
ρvr;t=ρvreiωt
Sabemos que las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial tienen la forma:
∇∙E=1ερv
∇∙B=0
∇×E=-∂B∂t
∇×B=μJ+εμ∂E∂t
Utilizando las formafasoriales de Er;t y ρvr;t para encontrar la forma fasorial de la ley de Gauss tenemos
∇∙Er;t=1ερvr;t
∇∙Ereiωt=1ερvreiωt
Como el operador ∇ solo depende de las coordenadas espaciales y no de las temporales, entonces podemos factorizar la exponencial
eiωt∇∙Er=eiωt1ερvr
Cancelando las exponenciales la ley de Gauss toma la forma
∇∙Er=1ερvr
Que es la forma fasorial de la ley de Gauss (que siguesiendo la misma representación de la ley de Gauss).
Para la ley de Gauss magnética tenemos
∇∙Br;t=0
∇∙Breiωt=0
eiωt∇∙Br=0
como la exponencial es distinta de cero tenemos
∇∙Br=0
Que es la ley de Gauss magnética es un forma fasoria
Para la ley de Faraday
∇×Er;t=-∂Br;t∂t
∇×Ereiωt=-∂Breiωt∂t
eiωt∇×Er=-Br∂eiωt∂t
eiωt∇×Er=eiωt-iωBr
∇×Er=-iωBr
Que es la ley de Faraday en su forma fasorialPara la ley de Ampere
∇×Br;t=μ Jr;t+εμ∂Er;t∂t
∇×Breiωt=μJreiωt+εμ∂Ereiωt∂t
eiωt∇×Br=eiωtμJr+εμEr∂eiωt∂t
eiωt∇×Br=eiωtμJr+eiωtiωεμEr
∇×Br=μJr+ iωεμEr
Que es la forma de la ley de Faraday en su forma fasorial
Por lo tanto las ecuaciones de Maxwell en su forma fasorial son:
∇∙Er=1ερvr
∇∙Br=0
∇×Er=-iωBr
∇×Br=μJr+ iωεμEr
Ondas Transversales.
Sabemos que toda onda de campo eléctrico queviaja en la dirección k=kxi+kyj+kzk y que su osilación esta en la amplitud E0 es se puede escribir
Er=E0e-ik∙r=E0 e-ikxx+kyy+kzz
Supongamos una onda de campo eléctrico más sencilla que viaja en la dirección k=kxi+kzk y que su amplitud de campo esta en la dirección j es decir E0=E0j
Ex,z= E0e-ikxx+kzzj
Calculemos la densidad de campo magnético utilizando la ley de Faraday∇×Ex,z=ijk∂∂x∂∂y∂∂z0E0e-ikxx+kzz0
=-∂∂zE0e-ikxx+kzz i+∂∂xE0e-ikxx+kzzk
=--ikzE0e-ikxx+kzz i+-ikxE0e-ikxx+kzzk
--ikzE0e-ikxx+kzz i+-ikxE0e-ikxx+kzzk=-iωBx,z
-kzE0e-ikxx+kzz i+kxE0e-ikxx+kzzk=ωBx,z
-kzE0e-ikxx+kzz i+kxE0e-ikxx+kzzk=ωBx,z
ωBx,z=-kz i+kxkE0e-ikxx+kzz
Esta expresión se pude poner en forma de un producto cruz de la forma
ωBx,z=ijkkx0kz0E0e-ikxx+kzz0
Sabemos que k=kxi+kzk=kak esto implica que ak=kk=kxki+kzkkdonde ak es el vector unitario del vector k.
ωBx,z=kkijkkx0kz0E0e-ikxx+kzz0=kijkkxk0kzk0E0e-ikxx+kzz0=kak×Ex,z
ωBx,z=kak×Ex,z
Bx,z=kωak×Ex,z
Pero sabemos que B=μH
μHx,z=kωak×Ex,z
μHx,z=kωak×Ex,z
Hx,z=kωμak×Ex,z
Sabemos que 1v=kω entonces
Hx,z=1vμak×Ex,z

Esta ecuación nos demuestras que los campos eléctricos magnéticos y el vector de propagación forma un sistema a...