libro

SISTEMAS DIGITALES
Algebra de Boole y Simplificación Lógica

OPERACIONES Y EXPRESIONES BOOLEANAS
● El algebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales. Es
indispensable tener unos conocimientos básicos del álgebra booleana para
estudiar y analizar los circuitos lógicos.
● En el tema previo hemos estudiado las operaciones y expresiones booleanas
para las puertas NOT, AND,OR, NAND y NOR.

Definiciones
● Los términos variable, complemento y literal son términos utilizados en el
álgebra booleana:





Una variable es un símbolo que se utiliza para representar magnitudes
lógicas. Una variable puede tener el valor 0 o 1.
El complemento es el inverso de una variable y se indica mediante una
barra encima de la misma. Así, el complemento de A es A.
Unliteral es una variable o el complemento de una variable.

Suma booleana
● Como hemos visto en el tema anterior, la suma booleana es equivalente a la
operación OR. El término suma es 1 si al menos uno de sus literales son 1. El
término suma es cero solamente si cada literal es 0.
0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 1

● En el álgebra de Boole, el término suma es una suma de literales. En loscircuitos lógicos, un término suma se obtiene con la operación OR, sin que
exista ninguna operación AND. Ejemplos: A+B, A+B, A+B+C, A+B+C+D.

¿Determinar los valores de A, B, y C ¿Qué hacen la
suma de la expresión A + B + C = 0 ?
Cada literal debe ser = 0; por lo tanto A = 1, B = 0 y C = 1.

Multiplicación booleana
● Igualmente, ya hemos visto que la multiplicación booleana es equivalente a
laoperación AND. El producto de literales forma un término producto. El
término producto será 1 solamente si todos literales son 1.
0·0= 0 0·1= 0 1·0= 0 1·1= 1

● En el álgebra de Boole, el término producto es un producto de literales. En
los circuitos lógicos, un término producto se obtiene con la operación AND,
sin que exista ninguna operación OR. Ejemplos: AB, AB, ABC, ABCD.

¿Cuáles sonlos valores de A, B y C si el término producto
de A.B.C = 1 ?
Cada literal debe ser = 1; por lo tanto A = 1, B = 0 y C = 0.

LEYES Y REGLAS DEL ALGEBRA DE BOOLE
● Al igual que en otras áreas de las matemáticas, existen en el álgebra de
Boole una serie de reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse
para aplicarla correctamente.

Leyes del álgebra de Boole
● Las leyes delálgebra de Boole son las mismas que en el álgebra ordinaria.
● Cada una de las leyes se explicará con dos o tres variables, aunque el
número de variables no está limitado a esta cantidad.

Leyes conmutativas
● Las leyes conmutativas se aplican a la suma y la multiplicación.


Para la suma la ley conmutativa declara: En términos del resultado, el
orden en el cual se suman (OR) las variableses indiferente.

A+B=B+A


A
B

A+ B

B
A

B+ A

Para la multiplicación la ley conmutativa declara: En términos del
resultado, el orden en el cual se multiplican (AND) las variables es
indiferente.

AB = BA

A
B

A·B

B
A

B·A

Leyes asociativas
● Las leyes asociativas se aplican también a la suma y la multiplicación.


Para la suma la ley asociativa declara:Cuando de suman (OR) más de
dos variables, el resultado es el mismo a pesar del agrupamiento de las
variables.
A

A + (B + C) = (A + B) + C



A+(B+C)

B
C

B+C

A
B

A+B
(A+B)+C

C

Para la multiplicación la ley asociativa declara: Cuando se multiplican
(AND) más de dos variables, el resultado es el mismo a pesar del
agrupamiento.
A

A(BC) = (AB)C

B
C

A(BC)BC

A
B
C

AB
(AB)C

Ley distributiva
● La ley distributiva es la ley de factorización. Una expresión que contiene
factores comunes se puede factorizar tal como en el algebra ordinaria.

AB + AC = A(B + C)
● La ley distributiva se puede ilustrar con circuitos equivalentes:

B
C

A
B

B+ C

X
X

A

X = A(B + C)

AB

A
C

AC

X = AB + AC

Reglas del...