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Historia de la cuadratura del círculo


El problema de la cuadratura del círculo es ya muy antiguo, los antiguos griegos
creían que el problema podría ser fácilmente resuelto con la sóla utilización de la
regla y el compás, debido a que ya el gran matemático Hipócrates había cuadrado
la lúnula, problema del cual se habla en este trabajo, y de figuras geométricas polígonales.Estos resultados abrían, sin duda, una esperanza (vana) para conseguir cuadrar la totalidad
del círculo. Hubo muchos intentos, por célebres geómetras griegos, y muchas soluciones
ingeniosas, entre ellas la de Dinostrato (s. IV a. C), quien conseguía «cuadrar» el círculo
mediante la cuadratriz (una curva descrita mecánicamente y que a su vez no
era construible con regla y compás).Sin embargo, durante mucho tiempo este problema ha ocupado la energía y tiempo de
grandes matemáticos.

En la antiguedad la contribución más importante fue la de Arquímides, que escribió un
tratado sobre la medida del círculo, aparte de dar el valor del área del círculo (Teorema 1),
y proporciona en el (Teorema III) un método para determinar pi con el grado
de aproximación quese desee, que de hecho prevaleció hasta el siglo XVII.

Sin embargo, los griegos ignoraban que para la resolución geométrica de este problema, era
necesario hayar por métodos geométricos la raíz cuadrada del número pi, y al ser éste un
número irracional y trascendente, como demostro siglos más tarde Lindemann, no podía ser
resuelto sólo con la regla y el compás.




En tiemposmas recientes, (1616-1703) otro matématico, Wallis se ocupa de este tema.
Por ejemplo, Wallis (1699, Tomo II: 353) opinaba que la cuadratura del círculo era imposible,
en tanto que creía que la razón del círculo a una figura rectilínea no puede ser expresada
por ninguna expresión aún reconocida, incluso por números irracionales; de forma que
posiblemente sea necesario introducir algunanueva manera de expresión distinta
de los números racionales e irracionales.

Como Wallis, James Gregory (1638-1675) creía que la cuadratura del círculo era imposible,
pero fue más lejos y, en 1668, publica Vera Circuli et Hiperbolae Quadratura, donde pretendió
demostrar que la cuadratura era imposible. Sus argumentaciones son recogidas por
Huygens (1724: 405 y ss.), junto con larefutación de las mismas.

Otros muchos matemáticos han trabajado en este problema: Euler, Lindemann, Cantor....

Hoy en día se sabe que dicho problema es irresoluble por medio de la regla y el compás,
ya que su resolución implica trabajar con el número PI, que no es sólo un número
irracional, sino también trascendente, algo que ya sospechaba Euler.

Con esto quedo demostrada laimposibilidad de resolver este problema por métodos
geométricos.
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Introducción

La cuadratura del círculo es un problema matemático de geometría que es irresoluble,
consiste en hallar con regla y compás un cuadrado con el área igual a la de un círculo dado

El interés de cuadrar superficies curvilíneas surgió con los griegos. Pero esta posibilidad no habría
parecido tanplausible a los griegos de no haber sido por el hecho de que Hipócrates de Quíos demostró
que ciertas figuras curvilíneas (lúnulas) construidas a propósito por él podían cuadrarse. Este hecho creó una falsa
expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándoles a pensar que podría cuadrarse el círculo.


Cuadratura de la lúnula

Formada por dos círculos, el diámetro de uno de los cualeses uno de los lados del cuadrado inscrito en el primero de ellos.
Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que corresponde a un triángulo.
La cuadratura del triángulo ya era conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir mediante regla y compás) era posible.




Cuadratura del círculo



Siendo pi*r^2, el área del círculo y b^2, el área del...