licenciatura

Tema 13.- Corriente alterna
Tema 13.- Corriente alterna
v(t)

§13.1.- Corriente alterna.

v = v(t ) con v(t ) = v(t + T ) (periódica)

wt

2π
sinusoidal (armónica): v = V sen(ωt + ϕ ) con ω =
= 2πν
T
• Características: valor máximo (amplitud), frecuencia (50 Hz), fase,...
• Ventajas: producción, transmisión , transformadores,...
§13.2.- Generador elemental de corriente
alterna.S

Φ = B ⋅ S = BS cos θ = BS cos(ωt + ϕ0 )
dΦ
E =−
= BS ω sen (ωt + ϕ0 ) = Emáx sen (ωt + ϕ0 )
dt
Emáx = ( NBS ) ω
(N espiras)

N

B

S

delgas

ω

E

§13.3.- Lemas de Kirchhoff en c.a..
• Valores instantáneos (v, i), máximos (Vmáx, Imáx) y eficaces (Vef, Ief).
• Corriente transitoria y corriente estacionaria.

Los lemas de Kirchhoff son los mismos que en c.c., peroreferidos a los valores
instantáneos.
Lema I (nudos):

∑i = 0

Lema II (mallas):

∑E + ∑E

cem

= ∑ iR →

∑ E = ∑ iR + ∑ contravoltajes

i

v = V senωt

a

i

i

a

elemento
pasivo

a

Corriente alterna

vab = iR

b

E = −L
Econtra

b

vab = L

di
(f.c.e.m.)
dt

di
(contravoltaje)
dt

i

b

a

b

vab =

q
C

13—1/11

§13.4.-Circuitos con resistencia, autoinducción o capacidad puras.
13.4.a. Resistencia pura
v = V senωt

i

v V
V
i = = sen ωt = I sen ωt → I =
R R
R
• La intensidad está en fase con la
tensión.
• Con
notación
fasorial:
V = IR
R=R

v

L

i

V
a

vab = v = L

b

v = V senωt

13.4.b. Autoinducción pura

V
V
1
v dt = ∫ sen ωt dt = −
cos ωt
i
L∫
L
ωL
V
∴ i =−
cos ωt =−I cos ωt = I sen(ωt − π 2 ) a
ωL

V

L

i=

b

• La intensidad se retrasa π/2 respecto la tensión.
V
V
=
• I=
reactancia inductiva: X L = ω L (Ω)
ωL X L
• Con
notación
fasorial:
V = IX L
X L = jω L

v = V senωt

I

i

13.4.c. Capacidad pura

vab = v =

V
a

• La intensidad se adelanta π/2 respecto la tensión.
V
V
=
reactancia capacitativa:
• I = ωC V =1 / ωC X C
−j
• Con notación fasorial: V = IX C
XC =
ωC

Corriente alterna

v

I

C

i

i

v

di
dt

q
C
dv 1 dq i
dv
=
=
→ i = C = ωCV cos ωt
dt C d t C
dt
∴ i = ωCV cos ωt = I cos ωt = I sen(ωt + π 2 )

I

b

XC =

1
(Ω)
ωC

13—2/11

§13.5.- Valor medio y cuadrático medio.

Dada una función f(t) definida en el intervalo (t1, t2) se
definen su
1valor medio: f medio = f =
Δt

f(t)


t +Δt

∫

f(t ) dt

t

t

1
valor cuadrático medio (r.m.s.): f r.m.s. =
Δt

t +Δt

∫

f 2 (t ) dt

2
→ f r.m.s. = [f 2 ]medio

t

f(t)
1

Aplicación a las funciones armónicas (seno y coseno):

0·5

1 T
11
T
sen ωt dt =
[− cos ωt ]0 = 0
∫0
T
Tω
1 T
11
T
cos ωt = ∫ cos ωt dt =
[sen ωt ]0 = 0
T 0
Tω

sen ωt =⎪
sen 2 ωt + cos 2 ωt = 1⎫
⎪ →
⎬
2
2
sen ωt = cos ωt ⎪
⎪
⎪
⎭

– 0·5
–1

sen 2 ωt + cos 2 ωt = 1 →

sen 2 ωt = cos 2 ωt =

1
2

v = V senωt

§13.6.- Valores eficaces de la corriente y del voltaje.

Vmáx
sen ωt = I máx sen ωt
R
2
p = i 2 R = I máx R sen 2 ωt

wt

180 360

i=

(potencia instantánea)

1 2
2
2
P = p = I máx R sen 2 ωt = I máx R = I ef R
2∴ I ef =

I máx
2

=

2
I máx = 0.707 I máx
2

→

R

i
a
p

I máx = 2 I ef

Intensidad eficaz: intensidad constante (c.c.) que produce el
mismo efecto calorífico que una c.a. al pasar por una
determinada resistencia.
Análogamente:
Corriente alterna

∴ Vef =

Vmáx
2

=

b

2
Vmáx = 0.707 Vmáx
2

→

wt

Vmáx = 2 Vef
13—3/11

v = V sen(ωt+α)

§13.7.-Circuito serie RLC. Impedancia.

di q
+
dt C
di 1
V sen (ωt + α ) = Ri + L + ∫ i d t
dt C

i = I sen(ωt+β)

v = vR + vL + vC = Ri + L

R

i

vC

vL

vR

(ec. dif. del circuito)

C

L

En general, será

I

v = Vm sen(ωt + α ) = Vm e j( ωt +α ) = Vm e jωt e jα = (Vm e jα )e jωt = Vm e jωt

V

con Vm = Vm e jα = (Vm ) α

La solución de la ec. dif. será...