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INTEGRALES MULTIPLES

En este tema se estudia la integral de Riemann de funciones de varias variables. Como veremos, la forma de introducirla es similar a la de la integral de Riemann de funciones reales de variable real. Se har´ el desarrollo para funciones reales de dos variables, para a m´s de dos variables se introduce de forma an´loga. a a Integral doble sobre rect´ngulos a Definici´n.Consideremos el rect´ngulo [a, b]×[c, d] y sean P1 = {a = x0 , x1 , . . . , xn = o a b} y P2 = {c = y0 , y1 , . . . , ym = d} particiones de [a, b] y [c, d] respectivamente. Entonces diremos que P1 × P2 = {(xi , yj ) ∈ R2 | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una partici´n de [a, b] × [c, d]. A partir de P1 × P2 se obtiene una descomposici´n o o del rect´ngulo como uni´n de los rect´ngulos Rij = [xi , xi+1 ] ×[yj , yj+1 ], 0 ≤ i ≤ n − 1 a o a 0 ≤ j ≤ m − 1. Se define la norma de una partici´n P = P1 ×P2 y se denota por δ(P) como el m´ximo o a de las areas de los rect´ngulos de P. ´ a Si P y Q son dos particiones de [a, b] × [c, d], diremos que P es m´s fina que Q si a Q ⊆ P. Supongamos ahora que f : [a, b] × [c, d] −→ R est´ acotada. a 1

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Universidad Polit´cnica de Cartagena ei) Se define la suma inferior de Riemann de f asociada a la partici´n P1 × P2 o como s(f, P1 × P2 ) =
n m XX i=0 j=0

mij (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )

donde mij = inf{f(x, y) | (x, y) ∈ Rij }. ii) Se define la suma superior de Riemann de f asociada a la partici´n P1 × P2 o como S(f, P1 × P2 ) =
n m XX i=0 j=0

Mij (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )

donde Mij = sup{f (x, y) | (x, y) ∈ Rij }.

talesque P n ⊆ P n+1 y limn→∞ δ(P n ) = 0. Diremos que f es integrable en [a, b] × [c, d] si existen y coinciden los l´ ımites limn→∞ s(f, P n ) = limn→∞ S(f, P n ). A este valor se le llama integral de Riemann o integral de f en [a, b] × [c, d] y se denota R f (x, y)dxdy. [a,b]×[c,d] de funciones de una variable como muestra el teorema de Fubini para rect´ngulos: a Teorema. Si f : [a, b] × [c, d] −→ Res integrable entonces Z Z f (x, y)dxdy =
[a,b]×[c,d]

o Sea f : [a, b]×[c, d] −→ R acotada y (P n )∞ una sucesi´n de particiones de [a, b]×[c, d] n=1

El c´lculo de integrales dobles en rect´ngulos puede reducirse al c´lculo de integrales a a a

Z

d

c

Z (

b

f(x, y)dx)dy =
a

Z

b

a

Z (

d

f (x, y)dy)dx.
c

Cuando la funci´n f es positiva, la integral de fen [a, b]×[c, d] coincide con el volumen o delimitado por la gr´fica de la funci´n f y dicho rect´ngulo. a o a Teorema. Si f : [a, b] × [c, d] −→ R es continua entonces es integrable Riemann en [a, b] × [c, d]. 2

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Integral doble sobre recintos b´sicos a Un subconjunto Ω de R2 se dice que es un recinto b´sico si es acotado, suinterior a es no vacio y su frontera se puede expresar como uni´n de curvas y = g1 (x) y x = g2 (y) o donde g1 y g2 son funciones reales de una variable continuas. Vamos a introducir la integral de Riemann de funciones reales de dos variable definidas en recintos b´sicos. a Definici´n. o Si f : Ω −→ R es una funci´n acotada donde Ω es un recinto b´sico, o a (

sea [a, b] × [c, d] un rect´ngulo quecontiene a Ω. Entonces definimos a ˜ f(x, y) = f (x, y) si (x, y) ∈ Ω 0 si (x, y) ∈ Ω /

˜ Entonces se dice que f es integrable en Ω si lo es f en [a, b] × [c, d]. En ese caso se define la integral de f en Ω como: Z Z f (x, y)dxdy = Z Z f(x, y)dxdy.

Ω

[a,b]×[c,d]

Se puede probar que el valor de la integral no depende del rect´ngulo conteniendo a a Ω que elijamos. Si consideramos 1Ω : Ω −→ Rentonces RR
Ω

1Ω (x, y)dxdy coincide con el ´rea de Ω. a

Al igual que para funciones definidas en rect´ngulos, se obtiene: a Teorema. Si Ω es un recinto b´sico de R2 y f : Ω −→ R es continua entonces es a integrable Riemann en Ω. Tambi´n se obtienen: e

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Proposici´n. o Entonces:

Sea Ω ⊆ R2 un recinto b´sico, f, g : Ω...