Limite de funciones

Sumario. Límite de una función en un punto. Álgebra de los límites.

Objetivo:
Aplicar las propiedades de límite al cálculo de límites sencillos.

Introducción:
Entre todos los conceptos que se presentan los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es el más importante por lo que dicho concepto debe el alumno dominarlo a cabalidad, pues en gran medida mucho delo que aún le queda por delante depende de él.

Pocas veces este concepto le queda claro al alumno y eso determina las dificultades que presenta al tratar de calcular el límite de determinadas funciones. Para contribuir a mejorar este problema observemos los siguientes ejemplos:

a) Estoy en el límite de la locura por tu conducta.
b) Si voy me acercaré a tu casa tanto como pueda
c) La faltade control de la basura nuclear ha llevado al mundo al límite de una catástrofe ecológica.
Los tres ejemplos nos dan en la vida práctica la idea de que nos acercamos a algo tanto como queramos, pero sin llegar precisamente a ese lugar o momento.
Veamos ahora un ejemplo matemático de este acercamiento hacia algo y que aún no hemos precisado.
Consideremos un círculo de radio r e inscribamos enél un triángulo equilátero como muestra la figura.

Posteriormente inscribamos un cuadrado, un pentágono y así sucesivamente,

Aumentemos el número de lados del polígono inscrito en la circunferencia. Como puede apreciarse la diferencia de área entre el círculo y el polígono se hace cada vez más pequeña a medida que crece el número de lados del polígono Si denotamos por [pic] el área delcírculo, y por [pic]el área del polígono tendremos entonces que [pic]. En otras palabras, el área del polígono tiende hacia el área del circulo cuando el número de lados del polígono crece ilimitadamente, pero nunca el polígono cubrirá todo el círculo a pesar de que [pic], pues esta diferencia no será nunca nula. Estas reflexiones antes citadas nos enseñan que en un proceso de límite está presente unacercamiento infinito hacia algo determinado, pero que no llegaremos nunca a alcanzar. Esta idea básicas del concepto de límite fue la barrera más resistente que tuvieron que franquear en el siglo XIX algunos de los fundadores del análisis infinitesimal como fueron Cauchy y sus seguidores.

Veamos este concepto desde el punto de vista matemático aplicado específicamente al caso de funciones.Desarrollo

La función f(x) tiende hacia el límite L cerca de a si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L, haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a.
( Insertar gráficos donde se muestren los diferentes tipos de acercamiento al punto a ).

Para explicar nuestra definición a una función particular consideremos la función [pic]. Veamos sugráfico.
A pesar de su comportamiento tan errático esta función en la proximidad de cero está claro que tiende a cero, al menos intuitivamente. En este ejemplo tanto a como L son cero, luego cabe preguntarnos si es posible hacer f(x) tan próximo a cero como se quiera, haciendo que x esté suficientemente cerca de cero, pero siendo distinto de cero. Para fijar ideas, consideremos que f(x) está amenos de [pic] de cero, esto quiere decir que [pic] o lo que es lo mismo [pic]. Pero eso es obvio, pues [pic], si [pic] luego [pic]. Esto significa que si [pic] y además [pic] entonces [pic], es decir [pic] está a menos de [pic]de cero. Pudo haberse tomado [pic], es fácil también garantizar que [pic] haciendo simplemente que [pic]. De hecho si tenemos cualquier número positivo [pic] podemos hacer[pic] haciendo simplemente que [pic] y [pic]

En la siguiente figura se ha representado el caso de [pic]
Para otros valores de [pic] este proceso se muestra en una animación (ver Significado Geométrico del límite). También se ha ilustrado en el caso de la función [pic](ver Significado Geométrico del límite).

Veamos entonces nuestra definición provisional:
La función f(x) tiende hacia L...