Limite de una funcion

LIMITE DE FUNCIONES

Introducción a límite
1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el valor de la función si x = -2?
b) ¿Cuál es el valor de la función si x = 3?
c) Construye la gráfica de la función.
d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?
e) ¿Qué tipo de gráfica representa la función?

2) El propósito de este ejemploes observar el comportamiento de la función
f(x) = x2 + 1 para valores cercanos a un valor c. Esto es, ¿están los valores de f(x)
cerca de algún valor en particular cuando x se aproxima a un número? ¿Cuál es ese valor? Utiliza la función dada para contestar las preguntas a continuación.
a) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda? (Completa latabla y observa los valores de f(x) para contestar.)
x f(x)
2.9
2.99
2.999

b) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar.)
x f(x)
3.1
3.01
3.001
c) ¿Cómo comparas el valor a que se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda y el valor a quese acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Observa las respuestas obtenidas en las preguntas a y b)
d) ¿Cómo comparas el valor de la función cuando x = 3 con el valor a que se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?

Límites
Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x seaproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:

La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que estéx del valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .
Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.
Teorema: El límite,

existe si el límite por la izquierda,

y el límite por la derecha,

son iguales.

Propiedades de límites: Sean n un entero positivo, k unaconstante y f,g funciones que tengan límites en c. Entonces:


Ejemplos para discusión: Para hallar el límite observando tabla de valores y la gráfica en cada una de las siguientes funciones.
1) Sea f(x) = x2 + 1. ¿A qué valor en particular se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?
Simbólicamente, se escribe:

Diez es el valor aque se aproxima la función cuando x se aproxima a 3.
Nota: En este ejemplo se puede observar que el valor de la función cuando x = 3 es igual al valor del límite. Esta propiedad la tienen las funciones polinómicas, esto es, el límite cuando x se aproxima o tiende a c se puede calcular sustituyendo c por x en el polinomio. Esto es, para cualquier polinomio p(x) y cualquier número real c tenemosque:


2) Sea:
El dominio de f contiene a todos los números reales excepto 1. Nota que no nos interesa hallar el valor de f(x) en 1, puesto que la función no está definida para ese valor. Lo que se busca es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1?

Es importante entender que el límite L de f(x) cuando x seaproxima o tiende a c no depende del valor de f(x) en x = c. El límite está determinado sólo por los valores de f(x) cuando x está cerca de c.
3) Sea

El dominio de f consiste de todos los números reales excepto cero. ¿Qué ocurre en f(x) según x se aproxima o tiende a cero?

4) Considera
¿Qué ocurre cuando x tiende a cero en f(x) por la izquierda y por la derecha?


Ejemplos para...