Limite

Concepto intuitivo
Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo, y=x2+x a la cual se le da un valor arbitrario a la variable independiente x, tal como x=3.9 Entonces a la variable dependiente y le corresponde el valor de:
y=3.92+3.9=19.11
En seguida se le da un nuevo valor a la variable x, por ejemplo de x=3.99, con lo que le corresponde a la variable y un valor dey=3.992+3.99=19.9101
El proceso se continúa, registrando los valores en una tabla como la siguiente:
X | 3.9 | 3.99 | 3.999 | 3.9999 |
Y | 19.11 | 19.9101 | 19.991001 | 19.99910001 |

Hasta aquí una calculadora muestra en la pantalla el valor de y en forma exacta, pero sise pretende obtenerlo para el siguiente valor de x, es decir, para x=3.99999 como el correspondiente valor de la variabley consta de 12 dígitos y la pantalla de la calculadora no tiene capacidad para mostrar tantos dígitos, redondea al final y eso no sirve para los efectos que se persiguen en este estudio introductorio del concepto de límites, sino que se requieren valores exactos con todos los decimales que les corresponden. Sin embargo, al observar los sucesivos valores de la variable y en la tabla, se puedededucir fácilmente una regla de formación de cada uno de ellos:
a) todos comienzan con 19;
b) entre el punto decimal y el primer 1 van tantos nueves, menos uno, como los tiene la variable x en su parte decimal;
c) entre cada uno de los dos unos van tantos ceros, menos uno, como nueves tiene la variable xen su parte decimal.
De manera que se puede ampliar la tabla anterior de estaforma:
X | 3.9 | 3.99 | 3.999 | 3.9999999999 |
Y | 19.11 | 19.9101 | 19.991001 | 19.99999999910000000001 |

Se ha colocado un etcétera al final de la tabla para dar a entender que el proceso no está acabado, sino que puede continuar indefinidamente, esto es que en un momento dado se puede tener que x=3.999999999999999999999999999999999999999999999999 con lo que corresponde ya a la imaginación,valga la redundancia, imaginar el valor que le corresponderá a la variable y, y más y más nueves sin que acabe nunca el proceso.
Se observa entonces que ambas variables se acercan cada vez más a un valor en concreto:
La x se aproxima a 4 mientras que la y tiende a 20. Esa es la idea de un límite, referida siempre a la variable dependiente, es decir, se dice que el límite de y es 20, cuando xse aproxima a 4.
Lo anterior se escribe:
limx→4=20
Es importante tener en cuenta que la anterior igualdad no significa que la y valga 20, sino el límite y que el valor de cualquier límite es el valor al que tiende o se acerca dicha variable. Además, que todo límite tiene una condicionante. En el caso anterior, la condicionante es que la variable x tienda a 4. Dicho con otras palabras, el límitede y es 20 (se acerca a 20) bajo la condición de que la x se esté aproximando más y más a 4. Finalmente, en el ejemplo anterior, para escribir todo con la misma variable, como y=x2 +x , el límite se escribirá de la siguiente manera:
limx→4x2+x=20
Es importante tener en cuenta que la anterior igualdad no significa que la y valga 20, sino el límite y que el valor de cualquier límite es el valoral que tiende o se acerca dicha variable. Además, que todo límite tiene una condicionante. En el caso anterior, la condicionante es que la variable x tienda a 4. Dicho con otras palabras, el límite de y es 20 (se acerca a 20) bajo la condición de que la x se esté aproximando más y más a 4. Finalmente, en el ejemplo anterior, para escribir todo con la misma variable, como, el límite se escribiráde la siguiente manera:
limx→4x2+x=20
Y significa que la función x2+x se está acercando al valor de 20 conforme la variable x tiende o se aproxima a 4.
En este momento a más de un estudiante ya se le habrá ocurrido que si la variable x se hizo tender al valor de 4 por la izquierda, también se pudo hacer por la derecha. Esto significa que se puede aproximar al valor de 4 viniendo de valores...