Limites, continuidad y cónicas

Límite de una función en un punto

Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definición , D de la función. También es necesario que en D haya puntos tan próximos a a como queramos, es decir, que a sea un punto de acumulación de D.

Punto de acumulación

Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña quesea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que "a" sea punto de acumulacióndel dominio de definición de la función.

Explicación dinámica del concepto de límite

Ejemplo: Una función típica en análisis es:

Esta función no está definida en el punto x=1. Para este valor de x, el denominador de la función es 0, y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luegola función tiene límite cuando x se aproxima a 1; el límite es 2. Se escribe:

Límites laterales

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a. se representa por:

El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que seaproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a. Se representa por:

Ejemplo:

Continuidad de una función en un punto

Continuidad de una función en un punto
Definición

Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función si: 

tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple: Si xo es punto de acumulación del dominio dela función entonces f es continua en xo si y sólo si 
.
Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de  en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 porla izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente: 
1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene limite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el limite por la derecha y por laizquierda y sus valores coinciden, la función tiene limite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición delos límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que 

.
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x delintervalo alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad de salto finito

    Se presentará una discontinuidad de salto finito en un valor x = a cuando en la...