Limites De Funciones Variables

Matemática III
Vladimiro Contreras Tito
vcontrerastito@hotmail.com

23 de enero de 2012
Resumen En esta parte estudiaremos funciones reales de varias variables.

Índice
Índice 1. Nociones de topología en Rn 1.1. Distancia euclidea en Rn . 1.2. Bola abierta . . . . . . . . 1.3. Entorno de un punto . . . 1.4. Bola cerrada . . . . . . . . 1 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5

. . . .. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2. Clasificación de los puntos de un conjunto 2.1. Punto interior. Interior de un conjunto . . . 2.2. Punto exterior. Exterior de un conjunto . . . 2.3. Punto frontera.Frontera de un conjunto . . 2.4. Punto adherente. Adherente de un conjunto 2.5. Punto de acumulación. Conjunto derivado . 2.6. Punto aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Conjunto abierto . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Conjunto cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 3. Conjuntos acotados,compactos y 3.1. Conjunto acotado . . . . . . . . 3.2. Conjunto compacto . . . . . . . 3.3.Conjunto conexo . . . . . . . . 3.4. Dominio . . . . . . . . . . . . . conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . ..

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1

ÍNDICE 4. limites de funciones de varias variables 4.1. Regla de las dos trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Limites parciales iterados ó reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Continuidad de funciones de varias variables 5 7 8 10

V. Contreras T.

Página 2

2CLASIFICACIÓN DE LOS PUNTOS DE UN CONJUNTO

1.
1.1.

Nociones de topología en Rn
Distancia euclidea en Rn

Definición 1.1. Sean X = (x1 , x2 , ..., xn ) y Y = (y1 , y2 , ..., yn ) puntos en Rn . La distancia euclidea de X a Y está dada por d(X, Y ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2 = X − Y

1.2.

Bola abierta

Definición 1.2. Sea a ∈ Rn y r > 0.La bola abierta de centro ay radio r, que se denota B(a, r), es el conjunto B(a, r) = X ∈ Rn / d(X, a) = X − a < r. Ejemplo 1.1. Si n = 2 y a = (0, 0), B(a, 2) es el interior del circulo centrado en el origen de coordenadas y radio 2.

1.3.

Entorno de un punto

Definición 1.3. Sea a ∈ Rn . Un subconjunto A ⊂ Rn es un entorno de a si existe una bola abierta de centro a contenida en A.

1.4.

Bola cerradaDefinición 1.4. Sea a ∈ Rn y r > 0.La bola cerrada de centro a y radio r, que se denota B(a, r), es el conjunto B(a, r) = X ∈ Rn / d(X, a) = X − a ≤ r. Ejemplo 1.2. Si n = 2 y a = (0, 0), B(a, 2) es el interior del circulo de centro (0, 0) y radio 2 junto con la circunferencia contorno.

2.

Clasificación de los puntos de un conjunto
Consideremos Rn con la distancia euclidea.

2.1.

Punto interior.Interior de un conjunto

Definición 2.1. Un punto a ∈ Rn es interior a A si existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Se llama interior de un conjunto A, denotándose , al conjunto de todos los puntos interiores a A. V. Contreras T. Página 3

2 CLASIFICACIÓN DE LOS PUNTOS DE UN CONJUNTO

2.2.

Punto exterior. Exterior de un conjunto

Definición 2.2. Un punto a ∈ Rn es exterior a A si es interior asu complementario Ac , o lo que es lo mismo, B(a, r) ∩ A = φ. Se llama exterior de un conjunto A, al conjunto de todos los puntos exteriores a A, denotandose Ext A.

2.3.

Punto frontera. Frontera de un conjunto

Definición 2.3. Un punto a ∈ Rn es punto frontera a A si para todo r > 0, B(a, r) ∩ A = φ y B(a, r) ∩ Ac = φ . Es decir, un punto es frontera de A si no es ni interior ni...