Limite de una funcion de variable real

Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

APUNTES DE NIVEL BÁSICO

Unidad 8

LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL

ALBERTO GUTIERREZ BORDA

ICA-PERÚ

Limite de una función de variable real

Básico: Unidad 8

INDICE

8.1. Introducción ………………………………………………………………………………………. 8.2. Noción intuitiva de límite………………………………………………………………….. 8.3. Definición formal de límite ………………………………………………………………… 8.4. Teoremas sobre límites ……………………………………………………………………… 8.5. Consecuencias importantes ………………………………………………………………. 8.6. Limites laterales …………………………………………………………………………………. 8.7. Ejercicios resueltos ……………………………………………………………………………. 8.8. Ejercicios propuestos ……………………………………………………………………….. 8.9. Anexo: Mapa conceptual …………………………………………………………………….

03 04 06 10 11 15 17 30 33Alberto Gutiérrez Borda

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Básico: Unidad 8

8.1. INTRODUCCIÓN
Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite, es a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil. El objetivo de esta unidad es dar la definición de límite, para esto empezamos con unadefinición provisional, hay que tener en cuenta que, no vamos a definir palabra “limite”, sino la noción de función que tiende hacia un límite. Señalaba Jean Le Rand D´Alambert “El concepto de limite es la base de la verdadera metafísica del Cálculo Diferencial”; en efecto, se verá más tarde, que sobre el concepto de límites de una función, es que descansa los dos pilares más importantes del curso decálculo: La derivada y la Integral de una función f(x). La Escuela Rusa Contemporánea de Matemática, concibe una gran división de esta ciencia, de la siguiente forma: la

Los calificativos “Superior” y “Elemental” no son sinónimos de “fácil” y “difícil”, respectivamente. De manera que, según lo anotado, Usted estará entrando a explorar el mundo de la Matemática Superior. En las notas, se inicia, con elconcepto intuitivo de límite, para entender la idea de cercanía, el comportamiento de valor limite; pero en un primer curso de Cálculo como este, va costar familiarizarse con esta definición, ya que la misma matemática le costó más de un siglo precisarla como presentamos ahora, así el trabajo no riguroso que presentamos permitirá entender su contenido.

Alberto Gutiérrez Borda

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8.2. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Considérese la función definida por: ;x 1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valorespecífico, cuando x se aproxima a 1? En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

X f(x) 0 1 0.3 1.6 0.5 2* 0.75 2.5 0.9 2.8 0.95 2.9 0.99 2.98 0.995 2.99 ** 0.999 2.998 0.9995 2.999 0.9999 2.9998 . . . . . . 1.000 no definido . . . . . .
Tabla 1

X 2 1.7 1.5 1.25Alberto Gutiérrez Borda

f(x) 5 4.4 4* 3.5
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Básico: Unidad 8

1.1 3.2 1.05 3.1 1.01 3.02 1.005 3.01 ** 1.001 3.002 1.0005 3.001 1.0001 3.0002 . . . . . . 1.000 no definido . . . . . .
Tabla 2 La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida quelos valores de x, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: El "límite" de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas: cuando (se lee: f(x) tiende a 3 cuando...