Limites de una funcion

Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

FUNCIONES CONTINUAS.

La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el original x ocasionan pequeñasvariaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor. Intuitivamente esto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO. Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir: f es continua en x = a ⇔ lim f ( x )= f (a )
x→a

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes: 1. Existe el límite de la función f(x) en x = a. 2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a) 3. Los dos valores anteriores coinciden. Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres condiciones. En este caso(si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es discontinua en dicho punto. En caso de que no se cumpla la segunda condición, la función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.

f no está definida en x = a

lím f ( x) ≠ f (a)
x→a

f no tiene límite en x = a

FUNCIONES CONTINUAS

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Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Ejemplos:

• La función f ( x ) =

x+2 ¿es continua en el punto x = 3? x−2

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores: x + 2 3+ 2 =5 = 1. lim f ( x ) = lim x →3 x →3 x − 2 3− 2 3+ 2 =5 2. f (3) = 3− 2 3. lim f ( x ) = f (3)
x→ 3

Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3. x2 − 1 • Dadala función f ( x ) = 2 , estudiar la continuidad de dicha función en x = 1. x −x Veamos si se cumplen las condiciones necesarias: ( x + 1) ⋅ ( x − 1) x2 − 1 x +1 1+1 1. lim 2 = lim = lim = =2 x →1 x − x x →1 x →1 1 x ⋅ ( x − 1) x 12 − 1 2. f (1) = 2 ⇒ no existe, pues se anula el denominador. 1 −1 3. El lim f ( x ) y f (1) no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no
x→1

sepueden comparar. Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho punto. ⎧3x + 5 si x < −1 ⎪ • Dada la función f ( x ) = ⎨− 2 si x = −1 , estudiar la continuidad de dicha función en ⎪3 + x si x > −1 ⎩
x = −1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: 1. Estudiamos la existencia del lim f ( x).
x → −1

Como en el punto x =−1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: lim− f ( x ) = lim− (3x + 5) = 2
x →−1 x →−1 x →−1+

lim f ( x ) = lim+ (3 + x ) = 2
x →−1

En consecuencia, existe lim f ( x ) = 2 pues los límites laterales son iguales.
x→−1

2. f (−1) = −2 3. lim f ( x ) ≠ f( −1)
x→−1

Luego la función es discontinua en el punto x = −1.
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Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

• Dada la función
x = 2.

⎧3x − 2 si x < 2 ⎪ f ( x ) = ⎨5 si x = 2 , estudiar la continuidad de dicha función en ⎪3 − x si x > 2 ⎩

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: 1.Estudiamos la existencia del lim f ( x)
x→2

Como en el punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: lim− f ( x ) = lim− (3x − 2) = 4
x→2 x→2 x →2 + x→2

lim f ( x ) = lim+ (3 − x ) = 1
x →2

En consecuencia, no existe lim f ( x ) pues los límites...