Limites Por Definicion

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Demostraciones ǫ − δ. Comencemos haciendo algunas observaciones sobre el valor absoluto.

Valor Absoluto. Primero recordar que si x es un n´mero real, el valor absoluto de x es u la distancia desde x a 0 y es escrita como |x|. Dicho de otra forma, podemos definir   x si x > 0, 0 si x = 0, |x| =  −x si x < 0. Por tanto, si k es cualquier n´mero real, tenemos u   x − k si x > k, 0 si x =k, |x − k| =  k − x si x < k,

tal que es natural (y util) pensar en |x − k| como la distancia de x a k. Dos equivalencias ´ importantes que involucra el valor absoluto son |x − k| < δ ⇐⇒ −δ < x − k < δ ⇐⇒ k − δ < x < k + δ, donde el s´ ımbolo ⇐⇒ significa “si y s´lo si.” En palabras, estas equivalencias dicen que x o es menor que δ unidades de k si y s´lo si la diferencia x − k est´ entre −δ yδ si y s´lo si x o a o est´ en el intervalo (k − δ, k + δ). ¡Haz el dibujo! a

u

La Definici´n. o

Definici´n (informal). Si f (x) es una funci´n definida para todos los valores de x cerca o o de x = k, excepto tal vez en x = k, y si ℓ es un n´mero real tal que los valores de f (x) se u acercan y m´s a ℓ como los valores de x son tomados m´s cerca y m´s cerca de k, entonces a a a decimos queℓ es el l´ ımite de f (x) cuando x se aproxima a k y escribimos
x→k

l´ f (x) = ℓ. ım

Para transformar esta idea intuitiva hacia una definici´n precisa, necesitamos decir exaco tamente qu´ decimos por “f (x) se acerca y m´s a ℓ como los valores de x son tomados m´s e a a cerca y m´s cerca de k.” La idea principal es notar que si dos cantidades se est´n “acercando a a y m´s,” entonces ladistancia entre ellas se convierte “m´s peque˜a y m´s peque˜a.” Esto es, a a n a n la distancia es eventualmente m´s peque˜a que cualquier n´mero positivo especificado. a n u Notar que hay una implicaci´n en esta definici´n informal. A saber dice si permitimos a o o x convertirse cercano y m´s cercano a k, entonces f (x) se convertir´ m´s cerca y m´s cerca a a a a a ℓ. Cuando escribimos una demostraci´n,mostramos que al tomar x suficientemente cercano o a k, hacemos a f (x) arbitrariamente cerca a ℓ. Sin embargo, antes podemos demostrar la implicaci´n en la definici´n, necesitamos saber cu´n cerca a k es suficientemente cerca; eso es o o a que necesitamos encontrar un δ. Ahora vamos a enunciar la definici´n precisa. o Definici´n. Suponga que k y ℓ son n´meros reales y f (x) es una funci´n definida en uno u o u intervalo abierto que contiene a k, excepto tal vez en x = k. Si para cualquier n´mero positivo ǫ > 0, existe un n´mero positivo δ > 0 (que depende de ǫ) tal que u 0 < |x − k| < δ =⇒ |f (x) − ℓ| < ǫ, entonces decimos que ℓ es el l´ ımite de f (x) cuando x se aproxima a k y escribimos
x→k

l´ f (x) = ℓ. ım

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Ejemplos. Ahora escribiremos unas pocas demostraciones para guiarte entu propia escritura. Para enfatizar la estructura l´gica de la prueba, no mostraremos c´mo hallamos o o nuestro δ en los primeros dos ejemplos. Ejemplo 1. Mostrar que l´ (3x − 5) = 1. ım
x→2

ǫ Demostraci´n. Sea ǫ > 0 y definamos δ = . Entonces si 0 < |x − 2| < δ, tenemos o 3 |(3x − 5) − 1| = |3x − 6| = 3|x − 2| ǫ < 3· 3 = ǫ. Por tanto hemos mostrado 0 < |x − 2| < δ =⇒ |(3x − 5) − 1| < ǫ, quemuestra l´ (3x − 5) = 1 por definici´n. ım o
x→2

Ejemplo 2. Mostrar que l´ (7x − 1) = 27. ım
x→4

ǫ Demostraci´n. Sea ǫ > 0 y definamos δ = . Entonces si 0 < |x − 4| < δ, tenemos o 7 |(7x − 1) − 27| = |7x − 28| = 7|x − 4| ǫ < 7· 7 = ǫ. Por tanto hemos mostrado 0 < |x − 4| < δ =⇒ |(7x − 1) − 27| < ǫ, que muestra l´ (7x − 1) = 27 por definici´n. ım o
x→4

Cada uno de estos ejemplos es una pruebacompleta. Sin embargo, la pregunta de c´mo o elegimos los valores de δ no es respondida por la prueba en si misma. De hecho, algo de “trabajo desde cero” fue realizado antes en la prueba que fue escrita. Vamos a observar al trabajo desde cero ahora. (TDC ser´ la abreviaci´n aque adoptaremos.) a o TDC para el Ejemplo 1. Deseamos |(3x − 5) − 1| < ǫ cuando 0 < |x − 2| < δ. Resolvemos la...